生育过程 - 模拟和渐近正态性

Question

我想要hat.mu_t不同时间t并证明数学结果，为了增加t，估计量hat.mu_t收敛到实际值mu并显示上面分布的收敛。

到目前为止，我得到了这段代码：

N <- 1  ##Initial population size
simulationtime <- 1000
mu <- 0.01 ##Per capita birth rate
t <- 0    ##Initialize time
birthdat <- data.frame(t=0,N=N)  ## Place to save the results
while (t < simulationtime) {
dt <- rexp(1,rate=mu*N)              ##Time until next birth
t <- t + dt                          ##jump times
N <- N+1
birthdat <- rbind(birthdat,c(t,N))   ##Tack on the latest result
}

哪个是出生过程，其中存储了跳跃时间和人口。我在定义M_t时遇到问题，但我通过

尝试了

M<-0
n<- length(birthdat[,2])-1
for (i in 1:n)
{
 M<-M+(birthdat[i+1,1]-birthdat[i,1])*birthdat[i,2]
}
hat.mu_t <- birthdat[n,2]/S #esitamtor for t is the second last jump time

使用这种方法，我只计算该模拟的第二个最后跳跃时间t的估计量。

我的小问题是： 我希望X_t和M_t用于任意时间t，而不是在模拟中出现的固定跳跃时间。但这不是主要问题，因为我可以把跳跃时间作为时间，看看hat.mu_t如何随时间变化并收敛到mu。问题是较长的模拟时间，出生过程爆炸，我无法在数据帧中存储所有跳跃时间和人口规模。

我不知道如何随着t的增加显示分布的收敛。

编辑：通过这句话，我的意思是@effel评论意义上的估计。如果没有其他建议，我会坚持使用电池的建议。 effel：
“估计mu为1000次，t = 10，并绘制估计的分布。重复t = 50,100,500 ...”并将其与正态分布N（0，mu）进行比较。

编辑2：说明我想要高值t 根据参数mu，t = 1000的时间值可以导致R的高运行时间，仅一个估计值为hat.mu_t。在固定时间t内这样做1000次，绘制估计的分布，将花费很长时间。也许我的代码效率不高。