在加权图中找到最短路径

Question

给出的是城市和航空公路和公路成本的图表，作为每对城市之间的边缘权重。我们需要找到分钟。从源头城市到目的地城市旅行的成本，因为我可以通过航空公司最多只能行驶一次。

到目前为止我的方法：选择每个气道边缘一次，然后将dijkstra仅应用于道路边缘的剩余图形。有没有办法改善这个？

Answer 1

构建定向图(G, E)，如下所示：

让X成为来源城市，Y成为目标城市。

对于C以外的每个城市X，构建两个顶点：(C, yes)和(C, no)，其中＆＃34;是＆＃34;意味着＆＃34;飞机使用＆＃34;和＆＃34;不＆＃34;意味着＆＃34;飞机未使用＆＃34;。对于源城市X，只构建一个顶点(X, no)。

边缘如下：

• 任何(C, yes)到任何(D, no)都没有优势。
• 当且仅当(C, yes)和{{之间存在道路时，(D, yes)到(C, no)（分别为(D, no)到C）有一条边。 1}}，这条边的重量是道路的重量。
• 当且仅当D和(C, no)之间存在气道时，(D, yes)到C才会有边缘，此边缘的权重是气道中。

现在，只需找到图D中从G到(X, no)（分别为(Y, yes)）的最短路径，这是使用一条气道的最低费用（不使用气道）。这两个中的最小值将是最终答案。

复杂性将是有向图(Y, no)的最短路径问题的复杂性，其中（直到大O常数）具有与原始图相同数量的顶点和边。

根据this wiki page，这个问题可以在(G, E)时间内解决。当然，您可以简单地使用Dijkstra。

Answer 2

如果你可以计算两个城市之间的直线距离，你可以使用A *而不是Dijkstra，使用距离函数作为启发式算法。肯定会扩展比Dijkstra更少的节点。

关于呼吸道，你的方法听起来不错。

Answer 3

按照以下方式创建辅助定向图G.

对于主图G中的每个城市V，将两个城市V'和V''添加到G'。

对于G中的每条道路大众，将四条单向道路V'W'，W'V'，V''W''，W''V''添加到G'。

对于G中的每个空中连接VW，将两个单向连接V'W''和W'V''添加到G'。

生成的图形在两个子图中被定向和分区，这样您只能通过空中从第一个子图行进到第二个子图，并且无法返回。这确保您可以使用空气，例如最多一次。

您可以在G'上运行Dijkstra算法。现在G中S和T之间的最短路径将对应于G'中两条路径中的较短路径：一条在S'和T'之间（仅地面），一条在S'和T'之间（恰好一次空中传输）。