每对等大小集的最大基数交点

Question

我们有N组，每组有N个整数。

我们取每对集合，找到它们的交集，S

现在，我们有兴趣找到具有最大基数的交集S的基数。

示例

例如，设N为4，我们有4个元素各4个：

A = {1,2,5,6}，B = {2,5,7,6}，C = {3,4,2,6}，D = {1,4,7,8}

现在我们采用这些集合和最大基数= {2,5,6}的交集的成对交集

所以，我们返回3.

蛮力解可以用Θ（N ³ ）时间完成。我们可以用其他方法更有效地做到吗？

Answer 1

如果出现以下情况，可以减少运行时间：

1. 有一些α＆gt; 0 使得（对于固定的α和增加 n ），有两组至少具有α重叠分数。

2. 许多对是不相交的或几乎不相交的（后来更准确）。

3. 您愿意使用高概率蒙特卡罗算法（误差概率随着 n 而减少）。

假设您首先将每个集合转换为哈希表。这需要（预期）Θ（n ² ）时间。现在为每对集合（即 n ² 循环），从第一组中选择√n随机元素，并计算数字第二组中的命中数（预期 O（√n）时间）。

通过multiplicative Chernoff bound和union bound的组合，您只能保留点击次数至少为 1/2α√n的对。< / p>

因此，很有可能，您可以将 n ² 对缩小到某些βn ² 对，时间只有 O（n ^2.5 ）。从这里继续蛮力。这可能有用与否，具体取决于β如何作为 n 的函数增长。