在没有epsilon的情况下将NFA转换为DFA

Question

根据我的理解，始终需要使用epsilon将NFA转换为DFA。 是否可以将NFA转换为DFA？如果是这样，那么DFA会是什么样子？

Answer 1

NFA没有“ε状态”。它们具有“epsilon过渡”：使用epsilon字母标记的过渡，表示该过渡不消耗任何输入字符。 NFA图不需要包含任何epsilon转换。

Epsilon转换由编译器生成，该编译器将正则表达式转换为NFA图。它们有助于表示与可选匹配对应的旁路路径。如果您有一个没有任何可选项的正则表达式，例如ab，则NFA图表不会（必须）包含任何epsilon边缘。

NFA模拟和NFA到DFA转换的一个重要概念是“epsilon闭包”：一组状态可通过跟随epsilon转换从状态到达。如果任何状态S在闭包中，并且该状态具有到某个状态T的epsilon转换，那么T也在闭包中。因此“epsilon关闭”。

我们构造了一组NFA状态来处理NFA图在同一输入字符上有多个转换到多个状态的模糊性。然后我们执行epsilon闭包来处理存在转换的额外歧义而不消耗输入符号，表示可选匹配。

NFA模拟动态构造NFA状态集; NFA到DFA“子集构造”预先计算这些集合，并将它们转换为DFA图形中的节点。

DFA，非正式地，一步一步。

要将您的NFA图表转换为DFA，我们首先从空白平板开始。我们没有NFA国家。箭头告诉我们NFA从状态1开始。我们问自己，NFA状态在由状态1组成的集合的epsilon闭包中是什么？我们注意到：没有epsilon过渡。所以闭包集是{ 1 }。到目前为止，我们的DFA计算机为空，因此我们将此集{ 1 }设为S0，并将该对象称为a：DFA的初始状态。

既然我们有DFA状态，我们会问自己：对于每个输入字母字符，哪些转换超出此状态？我们首先评估S0。从代表NFA状态{ 1 }的集a开始，我们计算可在符号{ 1, 2 }上到达的NFA状态集。这些状态为1，因为a在a上指向自身，并在{ 1, 2 }上转换为2。设置此转换后，我们需要考虑epsilons：我们需要通过计算其epsilon闭包来扩展该集合。由于没有epsilons，所以无所事事。我们有S1，我们会将该状态称为DFA的州 a b NFA set S0: S1 ? { 1 } S1: ? ? { 1, 2 } 。到目前为止，我们已经有了DFA的新图片：

S0

我们知道S1上的a转换为b。我们还不知道它对S1的作用，我们还没有考虑过b的转换。

我们接下来转到b（在评估S0的背景下）。在{ 1 }上，{ 2 }之外的状态可由{ 2 }集合组成。再次，epsilon-closing对此没有任何作用。并且S2看起来不像任何现有的DFA状态，因此我们建立了新状态 a b S0: S1 S2 { 1 } S1: ? ? { 1, 2 } S2: ? ? { 2 } ：

S0

现在我们已完成S1，因此我们转到下一个未完成状态{ 1, 2 }，其中包含NFA集a。我们问，在消耗{ 1, 2 }时，可以从这个集合中获得哪些州？答案是{ 1, 2 }。这个epsilon闭包是{ 1, 2 }。我们注意到：S1与S1相同。因此，a在 a b S0: S1 S2 { 1 } S1: S1 ? { 1, 2 } S2: ? ? { 2 } 上转换为自身：

S1/b

然后我们考虑{ 1, 2 }。消费b的{​​{1}}可以达到什么样的集合？答案是：{ 1, 2 }。因此，S1也会在b上转换为自身。

      a   b
 S0: S1  S2   { 1 }
 S1: S1  S1   { 1, 2 }
 S2:  ?   ?   { 2 }

现在S2/a很有趣。 {2}在a上没有任何转换：集合为空。我们可以用各种方式表示这种情况，其中之一就是我们创建了一个名为E的集合（错误）。如果在状态S2中看到a，那么这是一个错误;机器不接受这个角色。

      a   b
 S0: S1  S2   { 1 }
 S1: S1  S1   { 1, 2 }
 S2:  E   ?   { 2 }
  E:          { }

对于S2/b，我们看到{ 2 }过渡到{ 1 }而{ 1 }只是S0：

      a   b
 S0: S1  S2   { 1 }
 S1: S1  S1   { 1, 2 }
 S2:  E  S0   { 2 }
  E:          { }

如果机器进入状态E，它就会卡在那里，所以我们可以像这样填写条目：

      a   b
 S0: S1  S2   { 1 }
 S1: S1  S1   { 1, 2 }
 S2:  E  S0   { 2 }
  E:  E   E   { }

最后，我们注意到在原始NFA中，状态2是接受状态。因此，在DFA中，NFA集包含状态2的任何状态都是接受状态。

      a   b  acc?
 S0: S1  S2        { 1 }
 S1: S1  S1   y    { 1, 2 }
 S2:  E  S0   y    { 2 }
  E:  E   E        { }

如果机器进入状态E，则表示永久性故障。 （向DFA提供输入的人可能会注意到这种情况并停止喂食。）