Question

我正试图从this (old) implementation on github了解沙米尔秘密分享计划的实施情况，而我正在努力应对霍纳在扩展领域GF（p ^ n）中的统治：

void horner(int n, mpz_t y, const mpz_t x, const mpz_t coeff[])
{
  int i;
  mpz_set(y, x);
  for(i = n - 1; i; i--) {
    field_add(y, y, coeff[i]);
    field_mult(y, y, x);
  }
  field_add(y, y, coeff[0]);
}

为什么add是第一个而且只有mult？什么是算法？为什么不能这样：

  mpz_set(y,coeff[n-1]);
  for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    field_mult(y, y, x);
    field_add(y,y,coeff[i]);
  }

Answer 1

使用正常的加法和乘法符号翻译此horner函数，我们得到：

y = x;                     // mpz_set(y, x);
for(i = n - 1; i; i--) {
    y = y + coeff[i];      // field_add(y, y, coeff[i]);
    y = y * x              // field_mult(y, y, x);
}
y = y + coeff[0]           // field_add(y, y, coeff[0]);

因此，这计算如下：

你可以看到它不计算任何多项式，但它是Horner算法的一种变体来计算monic polynomial。

现在提出建议：

y = coeff[n-1];               // mpz_set(y,coeff[n-1]);
for(i = n - 2; i!=-1; i--) {
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

因此，您计算以下内容：

您可以看到缺少最高阶的术语。

如果你想在循环体内进行所有操作，你可以。毕竟，只有两种不同方式分解一系列交替指令的方法：

operation    value of y                                    loop iteration
                                                 add-mult loop      mult-add loop
                x                               initialization         n-1
add       x + coeff[n-1]                             n-1               n-1
mult     (x + coeff[n-1]) * x                        n-1               n-2
add      (x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]           n-2               n-2
mult    ((x + coeff[n-1]) * x + coeff[n-2]) * x      n-2               n-3
          ...etc...

但是您需要将y显式初始化为值1（隐式coeff[n]），这样您就可以开始乘以x并获得正确的结果最高阶词。

y = 1;                        // mpz_set(y,1);
for(i = n - 1; i!=-1; i--) {  // NOTICE n - 1 NOT n - 2
    y = y * x;                // field_mult(y, y, x);
    y = y + coeff[i];         // field_add(y,y,coeff[i]);
}

你可以指望你现在再执行一次乘法，它乘以1 * x。在有限域上，这通常使用log和antilog表来完成，因此您也可以避免这种无用的乘法，特别是如果您要经常评估多项式。

TL; DR：这种编写Horner算法的方法将最后一次加法和第一次乘法置于循环体之外。因为最高阶系数是1，所以这个乘法就完全消除了。

澄清：保留最高阶词，但是x^n而不是1 * x^n。为完全相同的结果省略一次乘法。

我无法理解这个Horner在扩展字段GF中的规则实现（p ^ n）

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