Question

首先，这似乎（来自ContourPlot）一个相当简单的最大化问题，为什么FindMaximum与Newton的方法有问题？

其次，我怎样才能摆脱警告？

第三，如果我无法摆脱这些警告，我如何判断警告是否有意义，即最大化失败？

例如，在下面的代码中，使用Newton方法的FindMaximum会发出警告，而PrincipalAxis方法则不会

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
(* -1 makes more contours towards maximum *)

contourFunc[n_, p_] := Function[{min, max},
   range = max - min;
   Table[Exp[p (x - 1)] x range + min, {x, 0, 1, 1/n}]
   ];
cf = contourFunc[10, -1];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}, Contours -> cf}

FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton"}
FindMaximum @@ {o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "PrincipalAxis"}

注意，我认为在其中一个组件的方向上渐变为0可能是问题，但是如果我扰乱了初始点我仍然得到相同的警告，这是一个例子

o = 1/5 Log[E^(-(h/Sqrt[3]))/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/5 Log[E^(h/Sqrt[3])/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   3/10 Log[E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))] + 
   1/10 Log[E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j)/(
     2 E^(-(h/Sqrt[3])) + 2 E^(h/Sqrt[3]) + 
      E^(-(h/Sqrt[3]) - Sqrt[2] j) + E^(h/Sqrt[3] - Sqrt[2] j) + 
      E^(-Sqrt[3] h + Sqrt[2] j) + E^(Sqrt[3] h + Sqrt[2] j))];
ContourPlot @@ {o, {j, -1, 1}, {h, -1, 1}}
FindMaximum @@ {o, {{j, -0.008983550852535105`}, {h, 
    0.06931364191023386`}}, Method -> "Newton"}

Answer 1

在数学上，我不确定为什么Netwon的方法会失败，但documentation for FindMaximum中的示例指出了可能的问题下的这个特定问题和错误消息：“ With机器精度算术，即使是具有平滑最大值的函数也可能看起来颠簸“。

因此，如果你提高工作精度，例如警告的WorkingPrecision -> 20选项FindMaximum消失了：

In[25]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method->"Newton", WorkingPrecision->20]

Out[25]= {-2.0694248079871222533, {j -> -0.14189560954670761863, h -> 0}}

鉴于错误的文本是相当具有描述性的：

FindMaximum :: lstol：行搜索将步长减小到容差范围内由AccuracyGoal和PrecisionGoal指定但无法找到足够的增量在功能中。您可能需要超过工作精度的MachinePrecision数字满足这些容差。＆GT;＆GT;

...我怀疑Newton的方法未能使用机器精度算法达到一个具有足够小误差的固定点。

如错误消息提示，如果您不想切换到较慢的高精度算术，则可以使用AccuracyGoal选项指定解决方案中所需的有效位数：

In[27]:= FindMaximum[o, {{j, 0}, {h, 0}}, Method -> "Newton", AccuracyGoal -> 5]

Out[27]= {-2.06942, {j -> -0.141896, h -> -2.78113*10^-17}}

希望有所帮助！

为什么使用牛顿方法的FindMaximum会抱怨它找不到足够的函数减少？

1 个答案: