Question

我已经完成了一项任务，我基本上需要创建一个函数，给定两个基础（我将其表示为向量矩阵），它应该将基础矩阵的变化从一个基础返回到另一个。

到目前为止，这是我提出的功能，基于我将在下面解释的算法：

function C = cob(A, B)
% Returns C, which is the change of basis matrix from A to B,
% that is, given basis A and B, we represent B in terms of A.
% Assumes that A and B are square matrices

n = size(A, 1);

% Creates a square matrix full of zeros 
% of the same size as the number of rows of A.
C = zeros(n);

for i=1:n
    C(i, :) = (A\B(:, i))';
end

end

以下是我的测试：

clc
clear out

S = eye(3);
B = [1 0 0; 0 1 0; 2 1 1];
D = B;

disp(cob(S, B));  %  Returns cob matrix from S to B.
disp(cob(B, D));
disp(cob(S, D));

这是我根据一些笔记使用的算法。基本上，如果我对某个向量空间有两个基础B = {b1, ... , bn}和D = {d1, ... , dn}，并且我想根据基础D表示基础B，我需要找到一个基础矩阵的变化S。这些碱基的载体以下列形式相关：

(d1 ... dn)^T = S * (b1, ... , bn)^T

或者，通过拆分所有行：

  d1 = s11 * b1 + s12 * b2 + ... + s1n * bn
  d2 = s21 * b1 + s22 * b2 + ... + s2n * bn
  ...
  dn = sn1 * b1 + sn2 * b2 + ... + snn * bn

请注意，d1，b1，d2，b2等都是列向量。这可以进一步表示为

  d1 = [b1 b2 ... bn] * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = [b1 b2 ... bn] * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = [b1 b2 ... bn] * [sn1; sn2; ... s1n];

让我们调用矩阵[b1 b2 ... bn]，其列是B，A的列向量，所以我们有：

  d1 = A * [s11; s12; ... s1n];
  d2 = A * [s21; s22; ... s2n];
  ...
  dn = A * [sn1; sn2; ... s1n];

请注意，我们现在需要查找的是sij和i=1...n的所有条目j=1...n。我们可以通过左侧乘以A的倒数，即乘以A^(-1)来做到这一点。

所以，S可能看起来像这样

S = [s11 s12 ... s1n;  
     s21 s22 ... s2n; 
     ...
     sn1 sn2 ... snn;]

如果这个想法是正确的，那么找到基础矩阵S从B到D的更改实际上是我在代码中所做的。

我的想法是否正确？如果没有，那有什么不对？如果是的话，我可以改进它吗？

Answer 1

当人们对算法有直观的了解时，事情会变得容易得多。

这里有两个要点：

C(B,B)是单位矩阵（即，无法从B更改为B）
C(E,D)C(B,E) = C(B,D)，将其视为B -> E -> D = B -> D

1和2的直接推论是

C(E,D)C(D,E) = C(D,D)，身份矩阵

换句话说

C(E,D) = C(D,E) ^-1

<强>综述用于计算矩阵C(B,D)以从B更改为D的算法：

定义C(B,E) = [b1, ..., bn]（列向量）
定义C(D,E) = [d1, ..., dn]（列向量）
将C(E,D)反转为C(D,E)。
将C(B,D)计算为产品C(E,D)C(B,E)。

示例

B = {(1,2), (3,4)} D = {(1,1), (1,-1)} C(B,E) = | 1 3 | | 2 4 | C(D,E) = | 1 1 | | 1 -1 | C(E,D) = | .5 .5 | | .5 -.5 | C(B,D) = | .5 .5 | | 1 3 | = | 1.5 3.5 | | .5 -.5 | | 2 4 | | -.5 -.5 |

<强>验证

1.5 d1 + -.5 d2 = 1.5(1,1) + -.5(1,-1) = (1,2) = b1 3.5 d1 + -.5 d2 = 3.5(1,1) + -.5(1,-1) = (3,4) = b2

表明C(B,D)的列实际上是基座b1中b2和D的坐标。

计算Matlab中基矩阵的变化

1 个答案: