用特征值求解稀疏矩阵

Question

我正在编写基于this论文的基于约束的粒子系统。约束C的雅可比行列式与系统中的粒子数量和约束数量成比例。因为每个约束通常只有几个依赖于它的粒子，所以矩阵将非常稀疏。我认为在Eigen中使用稀疏矩阵来解决系统可能是有益的。根据{{​​3}}，似乎有几种不同的方法来解决这些稀疏矩阵方程。我的问题是：

1. 这些矩阵的大小首先需要使用sparce矩阵吗？我需要存储雅可比行列式及其时间导数。每个都是Mx3N矩阵，其中M是约束的数量，N是粒子的数量。我的粒子系统的用户可能会在合理范围内添加任意数量的粒子。
2. 密集矩阵上的稀疏矩阵表示的参数更多是关于性能或内存消耗的。稀疏矩阵能否比密集矩阵更快地求解？这取决于什么？
3. 我对这些求解器的实现并不是很了解。我没有非常研究这些算法，特别是在稀疏矩阵方程的背景下。这些算法的性能如何？我应该选择哪一种？我记得几年前在我的线性代数课上学习了一些它们，我相信它们中的很多都是O（n ^ 3），对于像本文所描述的那样的系统来说它似乎不会很好。

Answer 1

如果N小于1000，那么你可能会使用密集存储，否则最好使用稀疏表示。每行非零的数量应该非常小，比如10左右，不超过100，以保持求解器的效率。稀疏求解器的复杂性实际上小于O（N * K），其中K是非零的数量。因此，对于非常稀疏的矩阵，它们可以比密集解算器快几个数量级。