Question

我有一个用同事写的ODE系统：

from sympy.parsing.sympy_parser import parse_expr

xs = symbols('x1 x2')
ks = symbols('k1 k2')
strs = ['-k1 * x1**2 + k2 * x2', 'k1 * x1**2 - k2 * x2']
syms = [parse_expr(item) for item in strs]

我想将其转换为向量值函数，接受x值的1D numpy数组，k值的1D numpy数组，返回在这些点处评估的1D numpy数组。签名看起来像这样：

import numpy as np
x = np.array([3.5, 1.5])
k = np.array([4, 2])
xdot = my_odes(x, k)

我想要这样的事情的原因是将此功能提供给scipy.integrate.odeint，因此它需要很快。

尝试1：潜艇

当然，我可以围绕subs编写一个包装器：

def my_odes(x, k):
    all_dict = dict(zip(xs, x))
    all_dict.update(dict(zip(ks, k)))
    return np.array([sym.subs(all_dict) for sym in syms])

但这是超级慢的，特别是对于我的真实系统，它更大，并且运行了很多次。我需要将此操作编译为C代码。

尝试2：theano

我可以接近sympy's integration with theano：

from sympy.printing.theanocode import theano_function

f = theano_function(xs + ks, syms)

def my_odes(x, k):
    return np.array(f(*np.concatenate([x,k]))))

这会编译每个表达式，但输入和输出的所有打包和解包都会减慢它的速度。 theano_function返回的函数接受numpy数组作为参数，但每个符号需要一个数组，而不是每个符号一个元素。这与functify和ufunctify的行为相同。我不需要广播行为;我需要它将数组的每个元素解释为一个不同的符号。

尝试3：DeferredVector

如果我使用DeferredVector我可以创建一个接受numpy数组的函数，但我无法将其编译为C代码或返回一个numpy数组而不自行打包。

import numpy as np
import sympy as sp
from sympy import DeferredVector

x = sp.DeferredVector('x')
k =  sp.DeferredVector('k')
deferred_syms = [s.subs({'x1':x[0], 'x2':x[1], 'k1':k[0], 'k2':k[1]}) for s in syms]
f = [lambdify([x,k], s) for s in deferred_syms]

def my_odes(x, k):
    return np.array([f_i(x, k) for f_i in f])

使用DeferredVector我不需要解压缩输入，但我仍然需要打包输出。另外，我可以使用lambdify，但ufuncify和theano_function版本会崩溃，因此不会生成快速C代码。

from sympy.utilities.autowrap import ufuncify
f = [ufuncify([x,k], s) for s in deferred_syms] # error

from sympy.printing.theanocode import theano_function
f = theano_function([x,k], deferred_syms) # error

Answer 1

您可以使用sympy函数lambdify。例如，

from sympy import symbols, lambdify
from sympy.parsing.sympy_parser import parse_expr
import numpy as np

xs = symbols('x1 x2')
ks = symbols('k1 k2')
strs = ['-k1 * x1**2 + k2 * x2', 'k1 * x1**2 - k2 * x2']
syms = [parse_expr(item) for item in strs]

# Convert each expression in syms to a function with signature f(x1, x2, k1, k2):
funcs = [lambdify(xs + ks, f) for f in syms]


# This is not exactly the same as the `my_odes` in the question.
# `t` is included so this can be used with `scipy.integrate.odeint`.
# The value returned by `sym.subs` is wrapped in a call to `float`
# to ensure that the function returns python floats and not sympy Floats.
def my_odes(x, t, k):
    all_dict = dict(zip(xs, x))
    all_dict.update(dict(zip(ks, k)))
    return np.array([float(sym.subs(all_dict)) for sym in syms])

def lambdified_odes(x, t, k):
    x1, x2 = x
    k1, k2 = k
    xdot = [f(x1, x2, k1, k2) for f in funcs]
    return xdot


if __name__ == "__main__":
    from scipy.integrate import odeint

    k1 = 0.5
    k2 = 1.0
    init = [1.0, 0.0]
    t = np.linspace(0, 1, 6)
    sola = odeint(lambdified_odes, init, t, args=((k1, k2),))
    solb = odeint(my_odes, init, t, args=((k1, k2),))
    print(np.allclose(sola, solb))

运行脚本时会打印

True。

速度要快得多（注意时间结果单位的变化）：

In [79]: t = np.linspace(0, 10, 1001)

In [80]: %timeit sol = odeint(my_odes, init, t, args=((k1, k2),))
1 loops, best of 3: 239 ms per loop

In [81]: %timeit sol = odeint(lambdified_odes, init, t, args=((k1, k2),))
1000 loops, best of 3: 610 µs per loop

Answer 2

我写了a module named JiTCODE，它适用于像你这样的问题。它需要符号表达式，将它们转换为C代码，在其周围包装Python扩展，编译它，并加载它以便与scipy.integrate.ode或scipy.integrate.solve_ivp一起使用。

您的示例如下所示：

from jitcode import y, jitcode
from sympy.parsing.sympy_parser import parse_expr
from sympy import symbols

xs = symbols('x1 x2')
ks = symbols('k1 k2')
strs = ['-k1 * x1**2 + k2 * x2', 'k1 * x1**2 - k2 * x2']
syms = [parse_expr(item) for item in strs]

substitutions = {x_i:y(i) for i,x_i in enumerate(xs)}
f = [sym.subs(substitutions) for sym in syms]

ODE = jitcode(f,control_pars=ks)

然后，您可以使用ODE，就像scipy.integrate.ode的实例一样。

虽然您的应用程序不需要它，但您也可以提取并使用已编译的函数：

ODE.compile_C()
import numpy as np
x = np.array([3.5, 1.5])
k = np.array([4, 2])
print(ODE.f(0.0,x,*k))

请注意，与您的规范相反，k不会作为NumPy数组传递。对于大多数ODE应用程序，这应该不相关，因为对控制参数进行硬编码会更有效。

最后，请注意，对于这个小例子，由于scipy.integrate.ode或scipy.integrate.solve_ivp（也见SciPy Issue #8257或this answer of mine）的开销，您可能无法获得最佳效果。对于大的微分方程（如你所知），这种开销变得无关紧要。

将sympy表达式转换为numpy数组的函数

2 个答案: