设X是不包含自身的所有集合的集合。 X是X的成员吗？
答案 0 :(得分：10)
在 ZFC 中，基础公理[如上所述]或理解公理（方案）将禁止这一点。第一，原因显而易见;第二，因为它基本上说对于给定的 z 和一阶属性 P ，你可以构造{ x ∈ z < / em>： P （ x ）}，但要生成Russell集，您需要 z = V （所有集合的类），它不是一个集合（即不能从任何给定的公理生成）。
在New Foundations（ NF ）中，“ x ∉ x ”不是分层公式，所以我们再也无法定义Russell组。然而，有点有趣的是， V 是 NF 中的一个集合。
在von Neumann - Bernays - Gödel集合论（ NBG ）中，类 R = { x ： x 是一个集合， x ∉ x }是可定义的。然后我们询问 R ∈ R ;如果是这样，那么 R ∉ R 也会产生矛盾。因此，我们必须 R ∉ R 。但这里没有矛盾，因为对于任何给定的类 A ， A ∉ R 意味着 A ∈< em> A 或 A 是一个合适的类。由于 R ∉ R ，我们必须简单地认为 R 是一个合适的类。
当然，类 R = { x ： x ∉ x }，没有限制，在 NBG 中根本无法定义。
同样值得注意的是，上述程序可以正式构建为 NBG 中的证明，而在 ZFC 中，必须采用元推理。
答案 1 :(得分：2)
问题在标准ZFC（Zermelo-Fraenkel +选择公理）集理论中是不适定的，因为这样定义的对象不是一个集合。
由于（再次，假设标准ZFC）你的类 {x：x \ not \ in x}不是一个集合，答案变为否定，它不是自身的一个元素（即使是因为只有集合可以是类或集合的元素。
顺便说一下，只要你同意axiom of foundation，就没有任何一个集合可以成为它自己的元素。
当然，关于数学的好处是你可以选择你想要的公理:)但是相信悖论只是很奇怪。
答案 2 :(得分：2)
我见过的最优雅的证据与拉塞尔的悖论非常相似。
定理（康托尔，我想）。 设X为一组，其子集的集合为2 ^ X.然后卡（X）＆lt;卡（2 ^ X）。
<强>证明即可。当然卡（X）＆lt; = card（2 ^ X），因为在X ^和2 ^ X中的单体之间存在平凡的双射。我们必须证明卡（X）！=卡（2 ^ X）。
假设X和2 ^ X之间存在双射。然后X中的每个xk被映射到2 ^ X中的集合Ak。
对于每个xk，机会是：xk属于Ak，或者不属于。设M是 not 属于其对应集合Ak的所有那些xk的集合。 M是X的子集，因此必须存在X的元素m，其通过双射映射到M.
我属于M吗？如果是，那么它不会，因为M是那些不属于他们映射到的集合的x的集合。如果没有，则确实如此，因为M包含 all 这样的x。这种矛盾源于存在双射的假设。因此，不能存在双射，两个基数不同，证明了该定理。