如果硬件已经实现，为什么需要乘法算法呢？

Question

我正在学习快速整数乘法的Karatsuba algorithm，并且想知道，因为计算机已经有内置在CPU中的专用硬件来进行乘法，为什么这个算法是必要的呢？

大数字难以成倍增加，但算法会将其分解为更容易让硬件处理的简单步骤，因为硬件擅长将较小的数字相乘吗？

Answer 1

1. 所有CPU都有固定的ALU / FPU位宽。

   例如 i80x86 （PC）是ALU限于：

   i8086+   16 bit
   i80386+  32 bit
   x64 arch 64 bit
   

   允许仅计算最多16/32/64位数作为操作数。 i80x87 FPU使用80 bit数字表示形式，从 float(32bit)/double(64bit)转换为限制精度。

2. 如果您需要计算更大位宽的数字，那么硬件限制

   然后你需要将其分解为 ALU / FPU 上可计算的块（并将它们作为数字的数字处理）并将它们的结果组合到最终值。 ALU正在计算这个，这就是为什么CPU有Carry标志和ALU支持添加和使用carry进行减法的原因。现在，如果您正在执行简单的+/-，那么您只需添加/从最低（LSW）到最高（MSW）的所有数字传播进位。见：

   • Cant make value propagate through carry

   乘法和除法更复杂，您需要使用通常为O(n^2)的长算法（如纸上计算）。其中n是＆＃34;数字＆＃34;的数量。一位数通常是8/16/32/64位数或其最大10^m基数。当你计算小数字（最多几个100x位）时，没有更高级算法的增益，因为它们有太多的开销。对于更大的数字，情况转而支持他们。见：

   • Fast bignum sqr

   计算大浮点数是很棘手的，通常在整数算术 ALU 上更快，而不是在 FPU 中更快。但是在某些情况下，如果你将值分解为更多变量，例如为了提高求和/积分时的准确性，你可以从 FPU 中受益：

   • Is it possible to make realistic n-body solar system simulation in matter of size and mass?，特别是最后一次修改

Answer 2

这些算法往往只能为多精度数字付出代价 - 实际上这些数字用于RSA之类的东西。无论它们是否得到回报，理论上都有兴趣制定出多精度算法的最佳算法。

当然，硬件也需要设计，人们有时会使用分割算法，这些算法不是那些开始算术的孩子。维基百科建议https://en.wikipedia.org/wiki/Division_algorithm#SRT_division，这不是高科技。有一些提议甚至实际使用Newton-Raphson迭代进行划分的例子。

Answer 3

  

如果硬件已经存在，为什么需要乘法算法呢？

因为硬件还没有这样做。硬件最多只能进行64位或128位乘法运算。您提到的Karatsuba算法在您的数字大了许多个数量级之前不会开始有用。