从线性编程中消除冗余方程

Question

我被要求用较少的等式重写这个线性规划问题。

MAX 7X1+5X2

S.t：

4X1+3X2 <= 2400
2X1+0.5X2 <= 750
X1 >= 100
X1,X2 >= 0

我做的是使用单纯形法，我发现最大利润为4030，X1 = 100，X2 = 666。我可以使用它并说出to obtain the maximum profit, X1 has always to be 100, then the third equation is an extra吗？

Answer 1

由于我们只考虑一个简单的二维问题，我们可以用图形方式解决这个问题。首先请注意目标函数的梯度是

∇f_obj = (7, 5)

从这一点开始，我们将X1表示您的变量x，X2表示y。

约束描述下面的多面体(a)，目标函数的水平曲线在(b)中给出（更明亮的轮廓：增加的目标函数值）。

最佳值由上方(b)中的红点(x^*, y^*) = (262.5, 450)标记。

很明显，不等式约束4x+3y <= 2400和2x+0.5y <= 750都是有效的，因为在这两者的交集中给出了最优。

但约束x >= 100（X1 >= 100）不是活动的，因此是多余的。

Answer 2

[1] 2x1 + 0.5x2 ≤ 750  
[2] 2x1 + 0.5x2 ≤ 4500 / 6
[3] 6 * (2x1 + 0.5x2) ≤ 4500
[4] 12x1 + 3x2 ≤ 4500
[5]
    12x1 + 3x2 ≤ 4500
 -   4x1 + 3x2 ≤ 2400
  ---------------------
     8x1 ≤ 2100
[6] x1 ≥ 2100 / 8
[7] x1 ≥ 262,5

步骤[2]中的6表示第一个约束中的3x2在第二个约束中大于0.5x2的次数，简而言之，3x2 / 0.5x2 = 6。

因此，可以消除第三个约束x1 >= 100，因为实际上，考虑到第四个约束x1,x2 >= 0，x1必须大于或等于262,5。

Answer 3

好的，答案如下： -

X1＆gt; = 100.＆lt; =＆gt; X1-100> = 0  X1 - 100 = y

或X1 = y + 100 在前2个方程中将X1替换为（y + 100）。将非负方程中的X1替换为y，删除第三个等式