Question

我正在研究一个解决0/1背包问题变体的程序。

此处描述了原始问题：https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem。如果以后链接丢失，我会给你一个0/1背包问题的摘要（如果你熟悉它，跳过这一段）：假设我们有n项，每项都有权重wi和值vi。我们希望将物品放入一个支撑最大重量W的袋子中，这样袋子内的总值就可以达到最大值，而不会超过袋子。项目不能有多个实例（即，我们只有一个实例）。问题的目标是maximize SUM(vi.xi)，以便SUM(wi.xi) <= W和xi = 0, 1（xi代表商品中包含或不包含的商品的状态。）

就我而言，条件和目标都存在细微差别：

所有项目的权重为1，wi = 1, i = 1...n
我总是想把一半的物品放在包里。因此，行李的最大重量容量是物品数量的一半（四舍五入）。W = ceil[n/2]或W = floor[(n+1)/2]。
此外，包内的重量必须等于其最大容量SUM(wi.xi) = W

最后，不是最大化包内物品的价值，而是目标是内部物品的价值尽可能接近外面物品的价值。因此，我的目标是minimize |SUM(vi.-xi) - SUM[vi(1-xi)]|，简化为minimize |SUM[vi(2xi - 1)]|。

现在，上面的维基百科页面中有一个原始0/1背包问题的伪代码（你可以在本文的底部找到它），但我无法适应我的场景。有人可以帮忙吗？（我不是要求代码，只是为了一个想法，所以语言无关紧要）

谢谢！

维基百科的0/1背包问题的伪代码：

假设w1, w2, ..., wn, W是严格正整数。限定   m[i,w]是重量减去可以达到的最大值   使用最多w项（i个项目）的i以上。

我们可以递归地定义m[i,w]，如下所示：


m[0, w]=0

m[i, w] = m[i-1, w] if wi > w（新项目超过当前的重量限制）

m[i, w]= max(m[i-1, w], m[i-1, w-wi] + vi) if wi <= w。


然后可以通过计算m[n,W]找到解决方案。
// Input:
// Values (stored in array v)
// Weights (stored in array w)
// Number of distinct items (n)
// Knapsack capacity (W)

for j from 0 to W do:
    m[0, j] := 0

for i from 1 to n do:
    for j from 0 to W do:
        if w[i-1] <= j then:
            m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i-1]] + v[i-1])
        else:
            m[i, j] := m[i-1, j]

Answer 1

感谢@harold，似乎这个问题不是背包问题，而是分区问题。我正在寻找的部分伪代码位于相应的维基百科页面中：https://en.wikipedia.org/wiki/Partition_problem

编辑：实际上，分区问题算法会告诉您一组项目是否可以分为两组相等的值。假设它不能，你有近似算法，它表示你是否可以将这些集合分成两组，差别是它们的值低于d。但是，他们并没有告诉你所产生的子集，而这正是我所寻求的。

我最终在这里找到了一个问题（这里：Balanced partition），并且我已经测试了一个代码示例并且工作正常。

背包的变体

1 个答案: