当且仅当BC在BCNF中时，R在3NF中？

Question

考虑关系R和函数依赖关系集F，仅包括一个函数依赖关系：{X->A}。 证明如果R在3NF iff R在BCNF。

到目前为止，根据定义，＆lt; - 方向是微不足道的。但我挣扎着 - ＆gt;方向。我们对F-closure了解多少？从定义中，我需要检查Y->B中的每个函数依赖F-closure，它的琐碎或Y是超级密钥。对于我失踪的R超级钥匙有什么结论吗？

Answer 1

这是证明的草图。

BCNF中的关系模式暗示模式也在3NF中这一事实是由于3NF的定义（每个行列式都是超级密钥或仅暗示主要属性，并且我们知道每个行列式都是超级密钥，因为模式在BCNF）。

所以我们必须证明，如果关系是3NF，那么它也在BCNF中。

现在考虑唯一的依赖项{X->A}。对于3NF的定义，X是超级密钥，或者A是主要的。

在第一种情况下，如果X是超级密钥，我们就知道该模式也在BCNF中。

因此，我们只需检查X不是（超级）键的情况，A是素数。 我们可以通过以下步骤证明这种情况是不可能的。

我们只有两种可能性，X包含A，或不包含。{/ p>

1. 如果X包含A，那么这种依赖关系是微不足道的，并且，由于没有其他依赖关系，X是一个关键，这违反了我们的假设，所以我们有矛盾。

2. 另一方面，如果X中未包含A，则X再次成为关键，这再次与我们的假设相矛盾。

最后，请注意，在此证明中，我假设R中XU{A}部分中没有其他属性，否则其他属性应出现在关系的任何关键字中，并且至少应该是与他们的另一种依赖。