在距离d处找到顶点

Question

我有一个有N个顶点的树。我想设计一种算法来快速回答一些查询。给定顶点V和整数d，我想在距离为d的距离为d的顶点找到顶点。如果在距离d处有多个顶点，则输出任意顶点。我显然知道如何做蛮力。我也试过一些类似于LCA发现算法的想法（计算距离为1,2,4,8 ......的祖先），但没有任何结果。

我会有很多查询，比如10 ^ 6，所以我想在O（1）或O（log N）时间内回答它们

Answer 1

这种方法可行

1. 计算树中最长路径的质心。为此，请使用深度优先搜索来查找顶点x，其中以x为根的树中顶点深度的最大值为最小值
2. 使用简单的树遍历计算以x为根的树中所有顶点的深度
3. 按照连接组件的索引对查询进行分组，如果删除了x，则查询将落入其中
4. 按组件迭代所有查询。说你的查询是（v，d）。如果depth（v）＆lt; = d，则可以使用v的第d个祖先作为答案，使用O（log n）中的standard approach。否则，通过在其中一个组件中查找深度d - 深度（v）（例如在O中），检查是否存在路径（v，w）与x和dist（v，w）= d交叉的解顶点w 1）通过哈希）

这是有效的，因为如果对于具有深度（v）＆gt; = d的查询（v，d）存在答案，则由于x的属性，存在从v开始的跨越x的长度d的路径。

您可以使用单个深度优先搜索来实施步骤1和步骤。

对于步骤4，您希望保留一个哈希表，该哈希表以您可以删除的方式将深度与顶点相关联，并在O（1）中添加顶点。然后，您可以在按组件工作时以线性时间执行它。

总运行时间为O（（n + q）* log n）。

这可以通过使用持久二进制搜索树预先计算步骤4中的深度数据结构在线进行，再次在每个查询的O（log n）中。

Answer 2

为树的每个边添加一个权重，对应于后代的数量。这只能进行一次，并且是O（ N ）

如果您只想在特定距离 d 找到一个顶点，您可以在O（ d ）步骤中执行此操作，只需将树向上走，最后向下，如一旦你找到一个足够重的分支来进行 d 步骤。

如果您在同一棵树上进行了很多查询，这将表现得非常好。

Answer 3

为给定节点构建图形/添加链接 您可以存储该顶点的边缘地图，其中距离为关键点，边距为该值。这样您就可以在O（1）

中构建和检索

class Vertex{
  String vertexLabel;
  Map<Integer,List<Edge> edgeMap;
}

Answer 4

一旦你的图形运行Floyd-Warshall算法，计算所有对之间的最短路径，然后使用它？ 也许只是从V开始的深度优先搜索并且在深度d处停止就足够了，这取决于您打算执行多少查询。