Question

我已经能够使用std :: next_permutation（c ++）等解决以下问题，但我现在正在考虑更普遍，并且非常想形成一个因为这种类型的问题似乎有助于表达 - 尽管我现在还没有运气。

以下是问题：

鉴于与N名选手的比赛正在进行，准确的M选手将在与他们的球衣上的数字相同的位置完成的概率是多少。其中M <= N。

到目前为止我做了什么：

会有N！种族可以结束的方式，
我试过摆弄一个由三个或四个参赛者组成的问题的小变种满足条件的所需人数为2.在两种情况下按特定顺序完成的2人概率为1/2

我想知道是否已经存在某种处理所有情况的表达式？

一些代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>

int main(int argc, char* argv[]) {
   if (argc != 3) return 1;

   int n = atoi(argv[1]);
   int m = atoi(argv[2]);

   if (m > n) return 1;

   std::vector<int> lst(n);

   for (int i = 0; i < n; ++i) lst[i] = i;

   unsigned int total = 0;
   unsigned int perm_count = 0;

   do {
      int cnt = 0;
      for (int i = 0; i < n; ++i) if (lst[i] == i) ++cnt;
      if (cnt == m) 
         ++total;
      ++perm_count;
   }
   while (std::next_permutation(lst.begin(),lst.end()));

   printf("Probability of (%d,%d) = %8.7f\n",n,m,(1.0 * total / perm_count));

   return 0;
}

更新：该表达式称为部分紊乱：

http://mathworld.wolfram.com/PartialDerangement.html

注1：如果假定完全排序的排列不计算，公式是正确的。

注2：我稍微改变了一下这个问题以使其更加清晰，因此也改为代码 - 这应该通过ShreevatsaR的评论来重新构建。

Answer 1

包含 m 固定点的 n 元素的集合的排列数为

D(n,m) = \frac{n!}{m!}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{(-1)^k}{k!} http://bit.ly/aaKqUq

（见http://en.wikipedia.org/wiki/Random_permutation_statistics#Number_of_permutations_that_are_derangements）

因此，概率是D（n，m）/ n !,即

d(n,m) = \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^{n-m}\frac{(-1)^k}{k!} http://bit.ly/aVqSkA

Answer 2

您需要以封闭形式解决此问题的两个定义：

置换N人的方法数量为N！（N阶乘），或N * N-1 * N-2 * ...... * 1.这些被称为排列。
从N中选择M个人的方式被称为（N选择M），它等于N！ /（M！（N-M）！） - 这些被称为组合。（如果这对您来说是新手，请在Google上搜索“排列和组合”。）

我正在研究封闭式解决方案......

根据条件枚举一组排列

2 个答案: