Question

假设我有一个传递关系~，其中包含两个endomaps f和g。假设f和g在所有地方都达成一致f a ~ f b ~ f c 然后有两种方式来显示g a ~ g c：通过给定的等式将每个f转换为g然后应用传递性，或者应用传递性然后沿着平等变换。结果证明是否相同？显然是这样，

open import Relation.Binary.PropositionalEquality

postulate A : Set
postulate _~_  : A → A → Set
postulate _⟨~~⟩_ : ∀{a b c} → a ~ b → b ~ c → a ~ c
postulate f g : A → A

subst-dist : ∀{a b c}{ef : f a ~ f b}{psf : f b ~ f c} → (eq : ∀ {z} → f z ≡ g z)
     → 
         subst₂ _~_ eq eq ef ⟨~~⟩ subst₂ _~_ eq eq psf 
       ≡ subst₂ _~_ eq eq (ef ⟨~~⟩ psf)

subst-dist {a} {b} {c} {ef} {psf} eq rewrite eq {a} | eq {b} | eq {c} = refl

我刚刚了解了rewrite关键字并认为它可能对此有所帮助;显然它确实如此。但是，老实说，我不明白这里发生了什么。我有其他时间使用rewrite，理解。但是，所有这些subst让我感到困惑。

我想知道

是否有更简单的方法来获取subst-dist？也许在图书馆里有类似的东西？
rewrite
subst-dist的替代证明，不使用重写（最重要）
是否有另一种方法可以在不使用g a ~ g c的情况下获取subst？
使用异构平等的一些缺点是什么，似乎并不像大多数人喜欢它。（也很重要）

感谢任何帮助。

Answer 1

rewrite只是一个加糖的with，它只是加糖的“顶级”模式匹配。见Agda’s documentation。

使用异构平等的一些缺点是什么呢好像大多数人都不喜欢它。（也很重要）

这没关系

types-equal : ∀ {α} {A B : Set α} {x : A} {y : B} -> x ≅ y -> A ≡ B
types-equal refl = refl

这也没关系

A-is-Bool : {A : Set} {x : A} -> x ≅ true -> A ≡ Bool
A-is-Bool refl = refl

这是一个错误

fail : ∀ {n m} {i : Fin n} {j : Fin m} -> i ≅ j -> n ≡ m
fail refl = {!!}

-- n != m of type ℕ
-- when checking that the pattern refl has type i ≅ j

因为Fin n ≡ Fin m并未立即暗示n ≡ m（您可以通过启用--injective-type-constructors来实现此目的，但makes Agda anti-classical）（Fin n ≡ Fin m -> n ≡ m为{{} 3}}虽然）。

当x ≅ y和x具有非统一类型时，最初Agda允许在y上进行模式匹配，但这允许编写奇怪的内容，例如（引自provable线程）

  P : Set -> Set
  P S = Σ S (\s → s ≅ true)

  pbool : P Bool
  pbool = true , refl

  ¬pfin : ¬ P (Fin 2)
  ¬pfin ( zero , () )
  ¬pfin ( suc zero , () )
  ¬pfin ( suc (suc ()) , () )

  tada : ¬ (Bool ≡ Fin 2)
  tada eq = ⊥-elim ( ¬pfin (subst (\ S → P S) eq pbool ) )

Saizan或者它只是忽略了类型并比较了构造函数名称？

pigworker Saizan：这正是我认为正在发生的事情

Andread Abel：


如果我轻轻修改代码，我可以证明Bool不等Bool2，其中true2，false2：Bool2（参见文件..22.agda）

但是，如果我将构造函数重命名为true，false：Bool2，那么我突然无法证明Bool不再等于Bool2了（参见   其他文件）。所以，目前Agda2比较了苹果和橘子   某些情况。 ; - ）

因此，为了在i ≅ j i : Fin n, j : Fin m上进行模式匹配，首先需要将n与m统一起来

OK : ∀ {n m} {i : Fin n} {j : Fin m} -> n ≡ m -> i ≅ j -> ...
OK refl refl = ...

这是异质平等的主要缺点：你需要提供各地索引相等的证明。通常cong和subst是非索引的，因此您还必须提供它们的索引版本（或使用更烦人的cong₂和subst₂）。

“heterindexed”没有这样的问题（我不知道它是否有正确的名称）平等

data [_]_≅_ {ι α} {I : Set ι} {i} (A : I -> Set α) (x : A i) : ∀ {j} -> A j -> Set where
  refl : [ A ] x ≅ x

e.g。

OK : ∀ {n m} {i : Fin n} {j : Fin m} -> [ Fin ] i ≅ j -> n ≡ m
OK refl = refl

更一般地说，只要您拥有x : A i, y : A j, p : [ A ] x ≅ y，就可以在p上进行模式匹配，j将与i统一，因此您无需携带n ≡ m的其他证明。

在Agda中呈现的异构平等也是this。

修改

x : A, y : B, x ≅ y上的模式匹配等于A ≡ B上的模式匹配，然后将上下文中的每个y更改为x。所以当你写

fail : ∀ {n m} {i : Fin n} {j : Fin m} -> i ≅ j -> n ≡ m fail refl = {!!}

与
相同
fail' : ∀ {n m} {i : Fin n} {j : Fin m} -> Fin n ≡ Fin m -> i ≅ j -> n ≡ m fail' refl refl = {!!}

但您无法在Fin n ≡ Fin m
上进行模式匹配
fail-coerce : ∀ {n m} -> Fin n ≡ Fin m -> Fin n -> Fin m fail-coerce refl = {!!} -- n != m of type ℕ -- when checking that the pattern refl has type Fin n ≡ Fin m

就像你不能模式匹配

fail'' : ∀ {n m} -> Nat.pred n ≡ Nat.pred m -> n ≡ m fail'' refl = {!!} -- n != m of type ℕ -- when checking that the pattern refl has type Nat.pred n ≡ Nat.pred m

一般

f-inj : ∀ {n m} -> f n ≡ f m -> ... f-inj refl = ...

仅在f显然是单射的情况下才有效。即如果f是一系列构造函数（例如suc (suc n) ≡ suc (suc m)）或计算它（例如2 + n ≡ 2 + m）。类型构造函数（Fin是）不是单射的，因为这会使Agda反经典，因此除非启用Fin n ≡ Fin m，否则无法在--injective-type-constructors上进行模式化。

指数统一为

data [_]_≅_ {ι α} {I : Set ι} {i} (A : I -> Set α) (x : A i) : ∀ {j} -> A j -> Set where refl : [ A ] x ≅ x

因为您没有尝试将A i与A j统一起来，而是明确地携带[_]_≅_类型的索引，这使得它们可用于统一。当索引统一时，两种类型都变得相同A i，并且可以像命题相等一样继续进行。

修改

异构平等的另一个问题是，它不是完全异构的：x : A, y : B, x ≅ y A和B必须位于同一个Universe中。 data定义中对Universe级别的处理最近已经改变，现在我们可以定义完全异构的等式：

data _≅_ {α} {A : Set α} (x : A) : ∀ {β} {B : Set β} -> B -> Set where refl : x ≅ x

但这不起作用

levels-equal : ∀ {α β} -> Set α ≅ Set β -> α ≅ β levels-equal refl = refl -- Refuse to solve heterogeneous constraint Set α : Set (suc α) =?= -- Set β : Set (suc β)

因为Agda认为suc不是单射的

suc-inj : {α β : Level} -> suc α ≅ suc β -> α ≅ β suc-inj refl = refl -- α != β of type Level -- when checking that the pattern refl has type suc α ≅ suc β

如果我们假设它，那么我们可以证明levels-equal：

hcong : ∀ {α β δ} {A : Set α} {B : Set β} {D : Set δ} {x : A} {y : B} -> (f : ∀ {γ} {C : Set γ} -> C -> D) -> x ≅ y -> f x ≅ f y hcong f refl = refl levelOf : ∀ {α} {A : Set α} -> A -> Level levelOf {α} _ = α postulate suc-inj : {α β : Level} -> suc α ≅ suc β -> α ≅ β levels-equal : ∀ {α β} -> Set α ≅ Set β -> α ≅ β levels-equal p = suc-inj (suc-inj (hcong levelOf p))

“subst”的分布

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