我必须以最佳方式解决以下问题。
输入数据是：
我需要找到一种方法来隔离具有属性的多个圆圈而不是任何“好”圆圈，从前N个点放置在所选圆圈中或所选圆圈的边缘没有任何点。
点数和圆圈的数量级为100,000。每个点检查每个圆的明显解决方案具有复杂度O（N * M）和100,000个圆和100,000个点，在具有64位SSE3单精度代码的Core 2 Duo上花费大约15秒。我竞争的参考实现只需要大约0.1秒的相同数据。我知道参考实现是O（Nlog N + Mlog M）。
我想过以下列方式优化算法。制作2个点数据副本，并根据x坐标和y坐标对副本进行排序。然后只使用位于[（xc - r，yc - r）定义的方格中的点; （xc + r，yc + r）]，其中（xc，yc）是“当前”圆的中心，半径为r。我可以使用二进制搜索在该间隔中找到点，因为现在我使用已排序的数据。这种方法的复杂性应该是O（Nlog N + Mlog ^ 2 N），实际上它比参考更快但仍然明显慢。
我或多或少知道参考实现的工作原理，但有些步骤我不明白。我将尝试解释到目前为止我所知道的事情：
坐标为（Xc，Yc）的圆的半径为：
那是因为（0,0）位于圆的边缘。
如果点P（x，y）在圆外，则以下的不等式必须为真：
现在，如果我们将（1）中的Rc替换为（2），那么在我们进行一些简单的计算后，将方程式平方：
（3.1）和（3.2）必须为真。
为简单起见，我们先写几点：
我们可以看到，对于给定的圆C（Xc，Yc），我们可以将（3）写成：
我们可以看到E（Xc）是关于Xc的线性函数，具有2个参数--A（x，y）和B（x，y）。这意味着基本上E（Xc）在欧几里德空间中表示具有2个参数的一族线。
现在这里是我不明白的部分。他们说，由于上段所述的属性，我们可以使用Envelope算法在O（1）摊销时间而不是O（N）时间内计算MIN（）和MAX（）。我不知道Envelope算法如何工作。
有关如何实施Envelope算法的任何提示？
提前致谢！
修改
问题不在于数学意义上的信封是什么 - 我已经知道了。问题是如何在更好的时间内确定包络O（n），显然它可以在摊销的O（1）中完成。
我有计算包络所需的函数族，并且我有一个所有可能参数的数组。如何以最佳方式解决最大化问题？
再次感谢！
答案 0 :(得分：1)
答案 1 :(得分：1)
我没有数学背景，但我会分三个步骤解决这个问题：
扔掉N中的大多数分数。这是棘手的部分。当从原点看时，每对点“遮蔽”一个“后面”的区域。该区域由两个光束分隔，这两个光束从点向外开始，指向原点，以及点之间的圆形交点。在极坐标中计算这个可能要简单得多。从随机对开始，然后一次看一个新点：如果它被遮挡，扔掉它;如果没有，找出它是否遮挡了你的集合中已经存在的任何点，然后重建包络的曲线集。重建包络曲线部分的测试应该花费几乎恒定的时间，因为阴影集不可能超过一定的小数。最坏的情况似乎是O（NlogN）。我无法想象任何解决方案都可以比O（N）更好，因为在任何情况下你都必须看每一点。
扔掉M中的大多数点。这很容易：如果M点远离原点而不是距离包络集最远点的距离的一半，则它可以被抛出。这需要O（M）
通过实际检查过滤M中的剩余点。它取决于N和M的分布，这需要多长时间，但我认为如果两个数字都很大且分布相似，那么几乎 O（1）。
总的来说，似乎可以在O（N log（N）+ M）中。但不保证;）
答案 2 :(得分：1)
答案 3 :(得分：1)
我认为你可以用Voronoi图做到这一点：
总体复杂度应为O（N log N + M log N）
答案 4 :(得分：0)
考虑一下计算的其他方面。
例如，你显然比较了很多距离。每个人都接到一个SQRT的电话。为什么不比较“距离的平方”。 SQRT是一项代价高昂的计算。
答案 5 :(得分：0)
永远不要拿sqrt。将所有距离保留为正方形。这样做，你也可以比较它们，但时间减少了2-3倍。