最大限度地减少分布在一个圆圈中的糖果的步骤

Question

圈子中有n个孩子。他们每个人都有一些糖果（可能是负数，正数或零）。他们可以一次给邻居一块糖果。最终结果是他们在最小步骤中都应该没有糖果。

假设我们有4个孩子用(-4, -2, 4, 2)个糖果，那么序列将是

1. （ - 3，-2,4,1）
2. （ - 2，-2,4,0）
3. （ - 2，-1,3,0）
4. （ - 2,0,2,0）
5. （ - 2,1,1,0）
6. （ - 2,2,0,0）
7. （ - 1,1,0,0）
8. （0,0,0,0）

这是一个可能的答案，我必须找到最少的步骤。

• 循环1：查找邻居是否有正面糖果，然后将其交给带有负糖果的邻居，直到糖果数等于零，并添加给予总和的糖果数量。

• 循环2：查找邻居的邻居是否有正面糖果，然后将其交给带有负糖果的邻居，直到糖果数等于零并加2（给予总和的糖果数）。 / p>

• 依此类推。

我的解决方案的复杂性导致了TLE。我该怎么做才能降低复杂性？

Answer 1

我认为你不需要详细循环。将每个地方的糖果数写为X1，X2，X3，X4。假设X1从左边接收k个糖果（即X4）。在此之后它有X1 + k糖果，所以必须将它传递到右边。然后X2将有X1 + X2 + k糖果，所以它必须将它传递到右边。然后X3将有X1 + X2 + X3 + k糖果，所以它必须将它传递给X4。我们知道X4通过了k糖果，这个检查（假设X1 + X2 + X3 + X4 = 0，如果没有，则没有解决方案）。

这需要| k | + | X1 + k | + | X1 + X2 + k | + | X1 + X2 + X3 + k |步骤，所以如果我们猜测k我们知道要采取多少步骤。 k的最佳价值是多少？如果我们增加k，如果有更多+ ve项X1 + X2 + ... k则增加总和，如果有更多-ve项则减少。因此，k的最佳值是其中正好一半的| k |，| X1 + k | ..是+ ve且正好是一半 - 因为如果不是这种情况我们可以增加或减少k来制作更好的事情 - 要选择的k的值是 - 中位数0，X1，X1 + X2，X1 + X2 + X3。

我已经为你的例子的n = 4案例说明了这一点，但我希望你可以从中找出一般n的答案。

Answer 2

采取 mcdowella 的想法，并将其置于我的话语中（因为我需要一段时间才能理解它，请参阅here了解一下这个主题），使其看起来像如下。关键见解是：

• 就像你可以拥有负糖果一样，你也可以传递负面糖果
• 在一个方向上传递负糖果基本上是向相反方向传递（正面）糖果
• 无论孩子的糖果多少，每个人都会以零结束。

这个实现如下：选择一个任意的子项开始（下图中的Child A，我有5个孩子而不是4个），我们选择一个任意方向（逆时针方向，在我们的例子中），并启动通过。每个孩子都必须摆脱所有的糖果（正面或负面）才能达到零。因此，孩子A有-2糖果，所以我们将它传递给Child B.之后，孩子B有-5糖果，所以我们将它传递给孩子C.现在孩子C有-4糖果，然后传递给D，所以上。这是第二张图，所有糖果在13次移动中都为零。

senter图不是最佳的。我们观察到在中心图中传递的所有糖果都是负数（保存E-> A通过）并且我们可以在第一次通过时添加或减去：如果A-> B传递是+5而不是-2，然后所有传递将增加7，并且E-＆gt;传递将是7而不是0，并且结束A仍然没有糖果。因此，我们寻找一个数字，通过该数字我们可以调整所有通过，使得所有通过的绝对值之和最小化。在上一个图中，我们看到如果我们向所有传递添加+2，则所有传递的绝对值之和为7.作为一个例子，如果我们添加+3，则总和会更大。因此，我们寻求为所有通道添加一个常量，以最小化所有通道的绝对值之和。

P.S。如果有人认为我的重新说明 mcdowella 的想法不应该在这里，我会很乐意删除。

Answer 3

这里适用的一种元方法是采用一种轮询并使其基于事件的算法。我是什么意思？

维护一个循环链接列表，其中包含给予者（带有> 0个糖果的孩子）和接受者（带有＆lt; 0个糖果的孩子）。维护一个优先级队列，其中包含每个相邻（在列表中，而不是在圆圈中）的给予者对的条目，其关键是给予者和接受者之间的距离。

现在，不要一次增加一个距离，而是使用优先级队列来找出下一个有趣的事情。每次解析一个给予者时，一个或两个孩子都会退出列表，这需要O（1）簿记和队列插入。