为不同的x

Question

想象一个大小 n 的数组 A ，其中每个数组元素包含两个正整数 a _i 和的 b'子> I

有Q查询，其中每个查询可以是以下两种类型之一：

1）给定正整数 x ，找到 max（a _i x + b _i ）所有我从 1 到 n

2）为某些 i a _i 和 b _i 的值>

查询的数量可能很大，因此天真O(Q * n)算法不够。此外，x可以大到10 ⁹ ，目标表达式的值可以大到10 ¹⁸ 。

可以使用某些段树的变体来解决这个问题吗？如果有类似的问题，请指出我。另外，你会如何解决这个问题呢？我不是在寻找代码，只是寻找逻辑的一些提示/指针。

修改：您可以假设查询类型1中的 x 值不会减少。

编辑2 ：您可以假设在更新中， a 的值只会增加。

编辑3 ：我找到了问题here的答案。感谢@Mikhail指出信封这个词。使用这个词太多次都有帮助; - ）

Answer 1

首先订购x值。 根据x0（最低x）处的值对线（ax + b是线）的值进行排序。 对于每对连续的线，找出它们的交叉点（更准确地说是交叉点的x坐标）。如果x坐标低于x0，则可以忽略该对。对于其他对，保留优先级队列以找到下一个交叉点。

现在，对于下一个交叉点之前的所有输入x，您输出当前的前导线。由于没有交叉点，订单不会改变，所以它们都是相同的线。到达交叉点时，意味着您的两条线交叉。因此，在排序列表中交换它们，并再次添加与新邻居的交叉点。

重复直到解决了所有输入案例。 如果交点不足，则意味着不会有任何其他订单更改，因此输出所有其他输入的最大值。

复杂度很可能是初始排序的结果，如果行数相对较小或者你必须做的更新次数是N ^ 2/2（每行与每一行相交），O（QlogQ + N ^ 2 * logN）

Answer 2

@ Sorin的想法是正确的，但找到交叉点是低效的。你想要的是构建所有行的上包络。此信封将包含不超过N-1个点（每个行在信封中的贡献不会超过一次）。因此，扫描其已排序的点将花费O(N+Q)时间。

现在，我们将在O(NlogN)时间内构建信封。首先，使用升序a对所有行进行排序。这将需要O(NlogN)。让我们假设为了简单起见a的所有值都不同，这不会改变主要思想。

请注意，行0和N-1将形成信封的左右斜率。因为接近无穷大，常数b不会发生变化。让我们从行0开始，作为信封的第一部分。现在，我们将按升序a的顺序浏览所有其他行，更新每一步的包络。我还要多次重复“信封”？嗯...

信封的更新（该死的！）与Graham scan的工作方式非常相似。在第一步，我们将行0放在堆栈中。在每一步中，我们考虑下一行并丢弃堆栈顶部的所有行，直到新行适合。见图：

这里我们添加行i+1。为此，我们需要丢弃行i和i-1。由于每行都添加到此堆栈并从中删除不超过一次，因此整个扫描仅需O(N)。如您所见，排序一直都在进行。

想知道如何确定下一行是否适合当前的堆栈？比较i+1行与i之上的行i的交叉点以及i-1上的O(N)。

现在我们有了信封（我发誓，这是最后一次），其余的很容易。我们有解决方案在O（Q + NlogN）工作。 HTH。

顺便提一下，有人指出这个算法很受欢迎，被称为Convex hull trick。

UPD 哇，我忘记了我们还需要不时更新信封:)这使问题复杂化。需要考虑一下。

无论如何，与处理O(1)中类型1和O(1)中类型2的查询的天真方法相比，这提供了相反的结果：类型1的O(N)，{类型2 {1}}。