求解多项式方程系统可能有无限解？

Question

我必须解决多项式方程系统，因为它有无限的解决方案而给出错误，我只需要很少的解决方案（任何2或3）所以我怎样才能得到它们？ ，我可以在解决方案上指定条件，例如值范围在1到10之间的解决方案，这样我就可以得到很少的价值。 方程实际上很复杂，但无限解是由于根处的“sin（0）”。

Answer 1

您可以尝试向系统添加其他公式，例如x1 = 0，x2 = 0等，以限制可能的解决方案的数量。

Answer 2

Mathematica的FindRoot函数将为您提供最接近给定值的解决方案，因此您可以使用FindRoot几次使用各种输入。

任何其他数学程序应该有类似的东西，恰好我现在最熟悉Mathematica。

Answer 3

这里解释的解决方案的定义是：对于某些输入，给定函数的值为零，或者多个方程的给定系统在多个点上重叠？后者可以被描述为在一条线上相交的2个平面，但这并不一定是人们在想象解决多项式方程系统时可能会想到的。

例如：x ^ 2 = 4只有2个解，但x ^ 2 = y ^ 2可能有无限多个解，因为x = y和x = -y都是定义相等所在位置的行，在我看来，两者都可以被认为是多项式方程式。

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我认为您已经阅读了SOLUTION OF EQUATIONS USING MATLAB，MATLAB Programming/Symbolic Toolbox和Solving non linear equations等内容，对吧？对于如何使用Matlab来做这些可能有一些想法。

Answer 4

在Mathematica中，您可以使用FindInstance查找方程的一个或多个解。以下是如何获得特定方程组的2个解：

In[2]:= FindInstance[
 x^2 + y^2 + z^2 == -1 && z^2 == 2 x - 5 y, {x, y, z}, 2]

Out[2]= {{x -> -(46/5) - (6 I)/5, 
  y -> 1/10 (25 - Sqrt[-5955 - 1968 I]), 
  z -> -Sqrt[1/10 ((-309 - 24 I) + 5 Sqrt[-5955 - 1968 I])]}, {x -> 
   11/5 - (43 I)/5, y -> 1/10 (25 - Sqrt[6997 + 5504 I]), 
  z -> Sqrt[(1/5 - I/10) ((2 - 85 I) + (2 + I) Sqrt[6997 + 5504 I])]}}

你也可以给出不等式，如1＆lt; var＆lt; 10如FindInstance或Reduce进一步限制可能的解决方案，如您所建议的那样。

Answer 5

如果以数字方式求解形式为f（x）= 0的系统，则可以使用FMINCON来添加约束。例如，您可以指定解决方案应介于1和10之间。

Answer 6

以与Jonas类似的方式，如果在Matlab中以数字方式求解f（x）= 0，则可以使用fsolve。如果多项式具有许多潜在输出，您可能能够从不同的初始点迭代这些输出。

请注意解决方案空间中的局部最小值，它们可能是迭代解决方案的一个严重问题，因为它们会将您的算法引导到实际上不正确的答案。

Answer 7

如果系统很大或有许多解决方案（隔离或高维组件），您可以使用HOM4PS2等软件包。如果系统（非常）小，你可以通过找到所谓的Grobner基础来象征性地解决它，它为你提供了一组等价（但不同）的多项式，其解决方案几乎是显而易见的。 Maple和Mathematica 7都可以做到这一点。

Answer 8

Mathematica提供了许多功能来帮助您。例如：

Plot3D[{0, x^2 - y^2}, {x, -1, 1}, {y, -1, 1},
 PlotStyle -> {Red, Green}]  

a = ToRules@Reduce[x^2 - y^2 == 0, {x, y}];
Plot[Evaluate@({x, y} /. {a}), {x, -1, 1}]