Question

我试图在Agda中证明一个简单的引理，我认为这是真的。

如果某个向量包含两个以上的元素，则在head之后取init与使用head后的lem-headInit : ∀{l} (xs : Vec ℕ (suc (suc l))) -> head (init xs) ≡ head xs lem-headInit (x ∷ xs) = ?相同。

我的表述如下：

.l : ℕ
x  : ℕ
xs : Vec ℕ (suc .l)
------------------------------
Goal: head (init (x ∷ xs) | (initLast (x ∷ xs) | initLast xs)) ≡ x

哪个给了我;

(init (x ∷ xs) | (initLast (x ∷ xs) | initLast xs))

作为回应。

我不完全了解如何阅读{{1}}组件。我想我的问题是;是否可能，该术语的含义和含义是什么。

非常感谢。

Answer 1

我不完全明白怎么做阅读(init (x ∷ xs) | (initLast (x ∷ xs) | initLast xs))组件。一世假设我的问题是;是吗这个术语可能，如何以及是什么的意思。

这告诉您，值init (x ∷ xs)取决于|右侧所有内容的值。当您在Agda中的函数中证明某些内容时，您的证明必须具有原始定义的结构。

在这种情况下，您必须对initLast的结果进行说明，因为initLast的定义会在产生任何结果之前执行此操作。

init : ∀ {a n} {A : Set a} → Vec A (1 + n) → Vec A n
init xs         with initLast xs
                --  ⇧  The first thing this definition does is case on this value
init .(ys ∷ʳ y) | (ys , y , refl) = ys

以下是我们编写引理的方法。

module inithead where

open import Data.Nat
open import Data.Product
open import Data.Vec
open import Relation.Binary.PropositionalEquality

lem-headInit : {A : Set} {n : ℕ} (xs : Vec A (2 + n))
             → head (init xs) ≡ head xs

lem-headInit (x ∷ xs) with initLast xs
lem-headInit (x ∷ .(ys ∷ʳ y)) | ys , y , refl = refl

我冒昧地将你的引理推广到Vec A，因为引理不依赖于向量的内容。

Answer 2

确定。我通过作弊得到了这个，我希望有人有更好的解决方案。我放弃了从init定义的initLast获得的所有额外信息，并创建了我自己的天真版本。

initLazy : ∀{A l} → Vec A (suc l) → Vec A l
initLazy (x ∷ []) = []
initLazy (x ∷ (y ∷ ys)) = x ∷ (initLazy (y ∷ ys))

现在这个引理很简单。

还有其他优惠吗？

显示（head.init）=在Agda开头

2 个答案: