Question

我有一个int数组，其中包含{47, 94, 79, 90, 89, 14, 82, 92}等数字。必须将数组分成三个子数组，以便每个数组的总和尽可能小，即最小。我认为它值得用递归来解决，但是这个方法让我感到厌烦，我还想到在初始数组上使用qsort然后将它除去＆＃34;贪婪＆＃34;但它始终不起作用（例如取最低和最高数字等）。

例如，上面的数字将分为： 1) {94, 90, 14} 2) {92, 89} 3) {82, 79, 47}

这里第三个数组包含最高的最小和，即208。数字的顺序无关紧要。问题是如何将数字公平地分成三组，以便它们形成最低的总和。我是否必须测试所有可能性？

Answer 1

可以使用动态编程对所描述的问题进行建模。我们可以按如下方式定义状态空间。

v[i,t1,t2] := minimal load in partition 3 attainable for items
              in {0,...,i} where the total load in partition 1
              is exactly t1 and the total load in t2 is exactly t2
              if such a load exists and positive infinity otherwise

对于州空间，i位于{0,...n}，t1，t2位于{0,...,P}，其中P是总和项目的上限，是客观价值的上限，以n*smax为界，其中smax是输入中出现的最大值。

我们获得了以下递归关系，其中案例基本上依赖于迭代选择分配给它的分区的每个元素，其中s_i表示i项的大小。

v[i,t1,t2] = min { v[i-1,t1-s_i,t2],
                   v[i-1,t1,t2-s_i],
                   v[i-1,t1,t2] + s_i }

最小表达式中的第一项对应于将项i分配到分区3中，第二种情况对应于将项i分配到分区2中，第三种情况对应于分配项{{1}填充状态空间后，可以通过评估以下表达式获得所需的结果（即分区的最小最大负载）。

在上面的最大表达式中，Result = min { max { t1, t2, v[n,t1,t2] : t1, t2 in {0,...,P} } }将对应于分区1中的负载，t1将对应于分区2中的负载和状态值t2对应于分区3中的负载。草绘算法的运行时间可以由v[n,t1,t2]限制，O(n^3*smax)是伪多项式运行时绑定。如果另外需要将项目最佳分配到分区中，则必须使用回溯或辅助数据结构。

请注意，为其中一个相同的分区赋予特殊作用似乎是假的，因为其负载是状态的值，而其他分区的负载用于状态空间的轴。此外，乍一看，国家的价值似乎可以轻易获得，因为它只是剩余的总负荷

sum_{j=1}^{i} s_i - ( t1 + t2 )

但情况并非如此，因为上述数量仅确定分区3中的负载（如果实际存在这样的分配）;在状态空间的定义中，正无穷大的使用表明这种分配不存在。

该方法非常类似于here，第12页ff所描述的方法。总之，所描述的问题可以被视为调度问题，即最小化3个相同并行机器的完工时间。在所谓的three-field notation中，问题表示为P3||Cmax，这意味着机器的数量不是输入的一部分，而是固定的。

三分区（动态编程示例）

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