算法 - GCD和LCM问题

Question

此问题的输入是正整数和单正整数k的数组A.如果k在下面定义的集合S中，则程序的输出为True，否则为False。

按如下方式定义集合S：

 
1. 如果x在A中，则x在S
中  
2. 如果x和y在S中，则GCD（x，y）在S
中  
3. 如果x和y在S中，则LCD（x，y）在S
中  

附加约束：对于A中的每个x，数组A的大小≤50000，k≤10 ¹² ，x≤10 ¹² 。程序必须返回答案在1秒或更短的时间内。

我没有任何好主意。我唯一能想到的是找到阵列中任何一对整数的GCD和LCM，然后我可以放大集合S.但随着S的扩展，新的整数将是新的整数，以制作更多的GCD和LCM

我希望你们帮帮我。我一直坚持这个。

更新

例如，给出的数组是A = {10,12,15};

正如我们所提到的，S = {...，10,12,15，...}

我们知道10,12,15在S.所以他们的GCD和LCM也在S中。这意味着：

S

中的GCD（10,12）= 2

S

中的GCD（10,15）= 5

S

中的GCD（12,15）= 3

LCM（10,12）= 60

...

最后：

S = {1,2,3,5,10,12,15,30,60}

Answer 1

将k因子分解为不同素数的幂。对于每个这样的主要功率因数，计算它是除数的所有数组元素的GCD。如果（且仅当）某些GCD不是k的除数，则S不包含k。

正确性证明涉及正整数是运算符GCD和LCM的分布格的事实。