Question

考虑一个价值为N的问题，您需要使用N美元钞票计算总计达[1,2,5,10,20,50,100]美元的方式。

考虑经典的DP解决方案：

C = [1,2,5,10,20,50,100]

def comb(p):
    if p==0:
        return 1
    c = 0
    for x in C:
        if x <= p:
            c += comb(p-x)
    return c

它不会影响求和部分的顺序。例如，comb(4)将产生5个结果：[1,1,1,1],[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2],[2,2]而实际上有3个结果（[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]都相同）。

计算此问题的DP习惯用法是什么？（非优雅的解决方案，例如生成所有可能的解决方案并删除重复项不受欢迎）

Answer 1

不确定任何DP惯用语，但您可以尝试使用Generating Functions。

我们需要找到的是

中x ^ N的系数

（1 + x + x ^ 2 + ...）（1 + x ^ 5 + x ^ 10 + ...）（1 + x ^ 10 + x ^ 20 + ...）......（ 1 + x ^ 100 + x ^ 200 + ...）

（1次出现次数* 1次+ 5次出现次数* 5 + ......）

与

的倒数相同

（1-X）（1-x ^ 5）（1-x ^ 10）（1-x ^ 20）（1-x ^ 50）（1-x ^ 100）。

现在，您可以根据统一根的乘积对每个因子进行分解，用Partial Fractions（这是一步）分割倒数，并在每个中找出x ^ N的系数（这将是形式为多项式/（xw））并将它们加起来。

你可以在计算统一的根源时做一些DP。

Answer 2

你不应该每次都从开始，但最大的时候你是从每个深度来的。这意味着您必须传递两个参数，即开始和剩余总数。

C = [1,5,10,20,50,100]

def comb(p,start=0):
    if p==0:
        return 1
    c = 0
    for i,x in enumerate(C[start:]):
        if x <= p:
            c += comb(p-x,i+start)
    return c

或同等（可能更具可读性）

C = [1,5,10,20,50,100]

def comb(p,start=0):
    if p==0:
        return 1
    c = 0
    for i in range(start,len(C)):
        x=C[i]
        if x <= p:
            c += comb(p-x,i)
    return c

Answer 3

术语：你要找的是“整数分区” 在预先标记的部分（你应该替换标题中的“组合”）。忽略问题的“动态编程”部分，例程对于你的问题，在第16章的第一节给出（fxtbook的“整数分区”，第399页），在线上 http://www.jjj.de/fxt/#fxtbook

组合的动态编程习语

3 个答案: