我有一个带有N个节点和E边缘的定向未加权图。节点的平均度为2E / N.
在第一轮中，每个节点都向其所有邻居广播他们的信息。在后续轮次中，节点将在上一轮中从其邻居收到的信息广播到所有其他邻居，等等。
图表不保证是非循环的。
我的问题是： 95％的节点对平均需要连续几轮广播？是否有可能根据平均值计算出近似数字？图的程度？
答案 0 :(得分：2)
平均而言，我假设你的平均值超过所有可能的（N，E）有向图，没有多边。
定理1
如果E <=（N-1）^ 2，将存在至少一个图表，其中信息不会传播。
<强>证明
具有N个节点的有向图具有多达N（N-1）个边缘。考虑一个完整的图形，选择一个节点，并删除它的所有传出边缘（或者，我们可以删除它的所有传入边缘）。来自此节点的信息无法传播，我们留下N（N-1） - （N-1）=（N-1）^ 2个边缘。
推论1
当E <=（N-1）^ 2时，至少有一个图表信息不能传播，因此平均轮数是无限的。
定理2a
如果E> （N-1）^ 2最大轮数为2.
<强>证明
具有N个节点且E＆gt;的有向图。 （N-1）^ 2个边是一个完整的图，其中最多（N-2）个边被移除。
如果我们想要从完整图中移除边，使得轮的数量将是3（例如，从节点A到节点B），我们需要确保没有节点B和边A->。 B和B-> C.这意味着我们需要为每个（N-2）个可能的'B'节点移除至少一个边缘（A-> B或B-> C）。我们还需要移除直接的A-> C边缘。总的来说，我们需要移除（N-3）边缘。
定理2b
如果E> （N-1）^ 2 最小次数为2。
<强>证明
微不足道的。图表不完整，因此至少有一条长度为2的路径。
推论2
if（N-1）^ 2＆lt; E＆lt; N（N-1），轮数为2。
定理3
如果E = N（N-1），则轮次数为1
<强>证明
微不足道的。完整的图表。
现在，您要问的是95％以上的节点对。
当然我们可以构建一些（N-1）^ 2＆lt; E＆lt; N（N-1）个图，其中> = 95％的有序节点对可以在1轮中通信，但是其他有序节点对在2轮中通信。
如果您考虑一个只有一个边缘被移除的6个节点的完整有向图，这是微不足道的。 （6 * 5-1）/（6 * 5）= 96.66％的有序节点对可以在一轮中进行通信。
为什么要具体询问95％？准确计算这个数字的计算是否重要？让我们知道。我认为你不能得出一个简单的准确通用公式，特别是当N和E很小时。也许我们可以渐近地制定一些东西（非常大的N）。