Question

这是我之前的问题here的延续。我学会了如何验证关系是否适用于

3n2 − 100n + 6 = O(n2),

因为我选择c = 3和3n2 > 3n2 − 100n + 6;

具体来说，c = 1和n0为0.06，如果n大于0.06，请说n = 5，

5^2 = 25 > 3*5^2 − (100*5) + 6 = -469

现在，似乎我无法使用以下等式应用相同的方法。

3n2 − 100n + 6 = O(n3), because I choose c = 1 and n3 > 3n2 − 100n + 6 when n > 3;

令我困扰的是“当n> 3”部分时，假设n = 2

f(n) - 3*2^2 − (100*2) + 6 = -182

f(g) - 2^3 = 8

8 > -182

这种关系仍然存在！

我认为我在某个地方犯了一个错误，因为我无法满足自己这种关系只会在n > 3时保持不变。我该怎么办？

Answer 1

正如我在my answer to your question in the previous thread中写的那样，满足

的常数（c，n0）的集合

f(n) < c · g(n), for all n > n0,                         (+)

不是唯一的。此外，你不需要找到最高的＆＃34; n> n0表示渐近行为，而是显示你想要证明的任何渐近关系的任何n0。回想一下，由于我们对渐近行为感兴趣，我们并不真正关心函数（或算法）对n的小值（例如n = 2或n）的行为= 3）。

此外，Big-O描述了函数（或算法）的渐近行为的上限，但它不必是最佳或最严格的约束。例如，

f(n) = 3n^2 - 100n + 6

    f(n) is in O(n^2) (as shown in previous thread)        (i)
    f(n) is in O(n^3) (as shown in your question here)     (ii)

这里，我们可以显示（i）和（ii），但前者提供了f（n）的渐近行为比后者更紧密的约束。通常，我们希望找到尽可能紧的Big-O界限，但在实践中，有时足够好的界限就足够了。请考虑以下情况：

考虑我们有一些函数或算法f（n）。此外，假设显示该f（n）是否在O（n ^ 2）中是非常大的努力，而显示f（n）在O（n ^ 3）中是很容易在几分钟内完成的。然后说你的老板需要知道你的算法是否至少表现得更好＆＃34;比n ^ 3渐近：因此，表明f（n）在O（n ^ 3）中就足够了。最有可能的是，在这种情况下，你的雇主不希望你花费整整一个下午的时间来证明f（n）实际上是“更好的”＃34;比n ^ 2渐近。

根据您的要求，我将添加如何证明f（n）在O（n ^ 3）中的解释，以及为什么常数c = 3的（非唯一）选择有意义（=容易获得）

问题：显示f(n) = 3n2 − 100n + 6位于O(n3)

我们会使用类似previous thread中的方法。

让我们将您的功能描述为它的最高术语和另一个功能的总和

f(n) = 3n^2 + h(n)                                       (*)
h(n) = 6 - 100n                                          (**)

在上一个帖子中，我们很容易地表明（我只是在这里列出结果）

    => h(n) < 0, given n > 6/100                         (i)
    => f(n) < 3*n^2, given n > 6/100                     (ii)

现在，请考虑以下功能

g(n) = n^3                                               (***)

我们可以用3*n^2对这个函数说些什么，还使用上面的结果（i-ii）？

for n = 3: g(3) = 3^3 = 3*3^2 > f(3) ((ii): since n = 3 > 6/100)
hence,    

   =>  for n > 3: g(n) > f(n)                            (iii)

现在，我们很容易达到（iii），因为已经有了结果（ii），这反过来也很容易达到。因此，n0=3的选择非常自然。另请注意，（iii）确切地描述了关系（+），但是具有常数c=1;因此选择c为1。

因此，我们已经证明（+）适用于常数集（c，n0）=（1,3），随后， f（n）处于为O（n ^ 3）

同样，我们可以通过直接攻击问题＆＃34;找到n0的较低值，其中n0的最小值为＆＃39; n ^ 2 - 100n + 6＆lt; n ^ 3，n> n0＆＃39;抱着？＆＃34; ，但我们对此并不感兴趣：我们想看看我们研究的函数的渐近行为。

因此，任何常量集(c,n0)可以帮助我们显示（+）足够，还有任何进一步的工作来寻找其他常量集（n0更小）价值等等也许可能是代数中的一个有价值的练习，但对于我们对f（n）的渐近行为的分析没有价值。

在大O表示法中找到n0

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