Question

我只是想知道＆＃34;是否小于＆＃34;为实数定义的关系。

我理解，对于自然数（nat），<可以用一个数字递归定义，即另一个数字的（1+）后继S。我听说很多关于实数的事情在Coq中是公理的而且不计算。

但我想知道Coq中是否存在实数最小公理集，基于哪些属性/关系可以导出。（例如Coq.Reals.RIneq认为Rplus_0_r : forall r, r + 0 = r.是公理，等等）

特别是，我感兴趣的是，<或<=之类的关系是否可以在等式关系之上定义。例如，我可以想象在常规数学中，给出两个数字r1 r2：

r1 < r2 <=> exists s, s > 0 /\ r1 + s = r2.

但这是否符合Coq的建设性逻辑？我可以用它来至少对不平等做一些推理（而不是一直重写公理）吗？

Answer 1

Coq.Reals.RIneq认为Rplus_0_r：forall r，r + 0 = r。是一个公理，等等

Nitpick：Rplus_0_r不是公理，而是Rplus_0_l。您可以在模块Coq.Reals.Raxioms中获取它们的列表以及Coq.Reals.Rdefinitions中使用的参数列表。

正如您所见，＆＃34;大于（或等于）＆＃34;和＆＃34;小于或等于＆＃34;都是按照＆＃34;小于＆＃34;来定义的。这是假定的，而不是使用你建议的命题引入。

看起来Rlt确实可以按照你建议的方式定义：这两个命题可证明是等价的，如下所示。

Require Import Reals.
Require Import Psatz.
Open Scope R_scope.

Goal forall (r1 r2 : R), r1 < r2 <-> exists s, s > 0 /\ r1 + s = r2.
Proof.
intros r1 r2; split.
 - intros H; exists (r2 - r1); split; [lra | ring].
 - intros [s [s_pos eq]]; lra.
Qed.

但是你仍然需要定义它意味着什么＆＃34;严格肯定＆＃34;因为s > 0位是有意义的，并且一点也不清楚你最终会有更少的公理（例如，严格正面的概念应该在加法，乘法等之下关闭））。

Answer 2

实际上，Coq.Real库在某种意义上有点弱，因为它完全被指定为公理，而在过去的某些（简短）点，它甚至是不一致的。

因此，le的定义有点“临时”，从系统的角度来看，它带有零计算意义，只是一个常数和一些公理。您可以添加公理“x＆lt; x”，而Coq无法检测到它。

值得指出Req for Coq的一些替代结构：

我最喜欢的经典建筑是由Georges Gonthier和B. Werner在四色定理中完成的：http://research.microsoft.com/en-us/downloads/5464e7b1-bd58-4f7c-bfe1-5d3b32d42e6d/

它只使用排除的中间公理（主要是比较实数），因此对其一致性的信心非常高。

最着名的无公理特征是C-CORN项目http://corn.cs.ru.nl/，但我们知道建设性分析与通常的不同。

如何＆＃34;小于＆＃34;在Coq中为实数定义？

2 个答案: