Question

我有一组数据，我想比较哪条线最好描述（不同顺序的多项式，指数或对数）。

我使用Python和Numpy，对于多项式拟合，有一个函数polyfit()。但我没有发现指数和对数拟合的这些函数。

有没有？或者如何解决呢？

Answer 1

为了拟合 y = A + B log x ，只需适合 y 反对（log x ）。

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> numpy.polyfit(numpy.log(x), y, 1)
array([ 8.46295607,  6.61867463])
# y ≈ 8.46 log(x) + 6.62

为了拟合 y = Ae ^Bx，取两边的对数给出log y = log A + Bx 。因此，对 x 拟合（log y ）。

请注意，拟合（log y ）就好像它是线性的一样会强调 y 的小值，导致大 y 的偏差很大。这是因为polyfit（线性回归）通过最小化Σ_i（Δ Y ）²来工作=Σ_i（ Y _i - Ŷ _{i ）²。当 Y _i = log y _i时，残差Δ Y _i =Δ（log y _{i < / sub>）≈Δ y _i / | y _{i |。因此即使polyfit对大型 y 做出了非常糟糕的决定，“除以| y |”因子将对其进行补偿，导致polyfit偏好小值。}}}

这可以通过为每个条目赋予与 y 成比例的“权重”来缓解。 polyfit通过w关键字参数支持加权最小二乘法。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1)
array([ 0.10502711, -0.40116352])
#    y ≈ exp(-0.401) * exp(0.105 * x) = 0.670 * exp(0.105 * x)
# (^ biased towards small values)
>>> numpy.polyfit(x, numpy.log(y), 1, w=numpy.sqrt(y))
array([ 0.06009446,  1.41648096])
#    y ≈ exp(1.42) * exp(0.0601 * x) = 4.12 * exp(0.0601 * x)
# (^ not so biased)

请注意，Excel，LibreOffice和大多数科学计算器通常使用指数回归/趋势线的未加权（偏差）公式。如果您希望结果与这些平台兼容，请不要包含权重，即使它提供更好的结果。

现在，如果你可以使用scipy，你可以使用scipy.optimize.curve_fit来适应任何模型而不进行转换。

对于 y = A + B log x ，结果与转换方法相同：< / p>

>>> x = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> y = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a+b*numpy.log(t),  x,  y)
(array([ 6.61867467,  8.46295606]), 
 array([[ 28.15948002,  -7.89609542],
        [ -7.89609542,   2.9857172 ]]))
# y ≈ 6.62 + 8.46 log(x)

对于 y = Ae ^Bx，然而，我们可以更好地拟合，因为它计算Δ（直接记录 y ）。但我们需要提供初始化猜测，以便curve_fit可以达到所需的局部最小值。

>>> x = numpy.array([10, 19, 30, 35, 51])
>>> y = numpy.array([1, 7, 20, 50, 79])
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y)
(array([  5.60728326e-21,   9.99993501e-01]),
 array([[  4.14809412e-27,  -1.45078961e-08],
        [ -1.45078961e-08,   5.07411462e+10]]))
# oops, definitely wrong.
>>> scipy.optimize.curve_fit(lambda t,a,b: a*numpy.exp(b*t),  x,  y,  p0=(4, 0.1))
(array([ 4.88003249,  0.05531256]),
 array([[  1.01261314e+01,  -4.31940132e-02],
        [ -4.31940132e-02,   1.91188656e-04]]))
# y ≈ 4.88 exp(0.0553 x). much better.

Answer 2

您还可以使用curve_fit中的scipy.optimize将一组数据放入您喜欢的任何函数中。例如，如果您想要拟合指数函数（来自documentation）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
    return a * np.exp(-b * x) + c

x = np.linspace(0,4,50)
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

然后如果你想绘图，你可以这样做：

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

（注意：绘制时*前面的popt会将这些字词扩展为a，b和c { {1}}期待。）

Answer 3

我在这方面遇到了一些麻烦所以让我非常明确，所以像我这样的新手可以理解。

假设我们有一个数据文件或类似的东西

# -*- coding: utf-8 -*-

import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit
import numpy as np
import sympy as sym

"""
Generate some data, let's imagine that you already have this. 
"""
x = np.linspace(0, 3, 50)
y = np.exp(x)

"""
Plot your data
"""
plt.plot(x, y, 'ro',label="Original Data")

"""
brutal force to avoid errors
"""    
x = np.array(x, dtype=float) #transform your data in a numpy array of floats 
y = np.array(y, dtype=float) #so the curve_fit can work

"""
create a function to fit with your data. a, b, c and d are the coefficients
that curve_fit will calculate for you. 
In this part you need to guess and/or use mathematical knowledge to find
a function that resembles your data
"""
def func(x, a, b, c, d):
    return a*x**3 + b*x**2 +c*x + d

"""
make the curve_fit
"""
popt, pcov = curve_fit(func, x, y)

"""
The result is:
popt[0] = a , popt[1] = b, popt[2] = c and popt[3] = d of the function,
so f(x) = popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3].
"""
print "a = %s , b = %s, c = %s, d = %s" % (popt[0], popt[1], popt[2], popt[3])

"""
Use sympy to generate the latex sintax of the function
"""
xs = sym.Symbol('\lambda')    
tex = sym.latex(func(xs,*popt)).replace('$', '')
plt.title(r'$f(\lambda)= %s$' %(tex),fontsize=16)

"""
Print the coefficients and plot the funcion.
"""

plt.plot(x, func(x, *popt), label="Fitted Curve") #same as line above \/
#plt.plot(x, popt[0]*x**3 + popt[1]*x**2 + popt[2]*x + popt[3], label="Fitted Curve") 

plt.legend(loc='upper left')
plt.show()

结果是： a = 0.849195983017，b = -1.18101681765，c = 2.24061176543，d = 0.816643894816

Raw data and fitted function

Answer 4

这是使用linearization中的工具的简单数据上的scikit learn选项。

给予

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.preprocessing import FunctionTransformer


np.random.seed(123)

# General Functions
def func_exp(x, a, b, c):
    """Return values from a general exponential function."""
    return a * np.exp(b * x) + c


def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Helper
def generate_data(func, *args, jitter=0):
    """Return a tuple of arrays with random data along a general function."""
    xs = np.linspace(1, 5, 50)
    ys = func(xs, *args)
    noise = jitter * np.random.normal(size=len(xs)) + jitter
    xs = xs.reshape(-1, 1)                                  # xs[:, np.newaxis]
    ys = (ys + noise).reshape(-1, 1)
    return xs, ys

transformer = FunctionTransformer(np.log, validate=True)

代码

适合指数数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_exp, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=3)
y_trans = transformer.fit_transform(y_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_samp, y_trans)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_samp)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, np.exp(y_fit), "k--", label="Fit")     # 3
plt.title("Exponential Fit")

适合的日志数据

# Data
x_samp, y_samp = generate_data(func_log, 2.5, 1.2, 0.7, jitter=0.15)
x_trans = transformer.fit_transform(x_samp)             # 1

# Regression
regressor = LinearRegression()
results = regressor.fit(x_trans, y_samp)                # 2
model = results.predict
y_fit = model(x_trans)

# Visualization
plt.scatter(x_samp, y_samp)
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")             # 3
plt.title("Logarithmic Fit")

详细信息

常规步骤

对数据值（x，y或两者）应用日志操作
将数据回归线性模型
通过“反转”任何日志操作（使用np.exp()）进行绘制并适合原始数据

假设我们的数据遵循指数趋势，则一般方程⁺可能是：

我们可以通过采用log来线性化后一个方程式（例如y =截距+斜率* x）：

给出线性化的方程⁺⁺和回归参数，我们可以计算出：

A通过拦截（ln(A)）
B通过斜率（B）

线性化技术概述

Relationship |  Example   |     General Eqn.     |  Altered Var.  |        Linearized Eqn.  
-------------|------------|----------------------|----------------|------------------------------------------
Linear       | x          | y =     B * x    + C | -              |        y =   C    + B * x
Logarithmic  | log(x)     | y = A * log(B*x) + C | log(x)         |        y =   C    + A * (log(B) + log(x))
Exponential  | 2**x, e**x | y = A * exp(B*x) + C | log(y)         | log(y-C) = log(A) + B * x
Power        | x**2       | y =     B * x**N + C | log(x), log(y) | log(y-C) = log(B) + N * log(x)

_{⁺注意：当噪声较小且C = 0时，线性化指数函数的效果最佳。谨慎使用。}

_{⁺⁺注意：更改x数据有助于线性化指数数据，而更改y数据有助于线性化 log 数据。}

Answer 5

嗯，我猜你总是可以使用：

np.log   -->  natural log
np.log10 -->  base 10
np.log2  -->  base 2

略微修改IanVS's answer：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def func(x, a, b, c):
  #return a * np.exp(-b * x) + c
  return a * np.log(b * x) + c

x = np.linspace(1,5,50)   # changed boundary conditions to avoid division by 0
y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)
yn = y + 0.2*np.random.normal(size=len(x))

popt, pcov = curve_fit(func, x, yn)

plt.figure()
plt.plot(x, yn, 'ko', label="Original Noised Data")
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-', label="Fitted Curve")
plt.legend()
plt.show()

这导致以下图表：

Answer 6

我们在解决这两个问题的同时展示了lmfit的功能。

给予

import lmfit

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt


%matplotlib inline
np.random.seed(123)

# General Functions
def func_log(x, a, b, c):
    """Return values from a general log function."""
    return a * np.log(b * x) + c


# Data
x_samp = np.linspace(1, 5, 50)
_noise = np.random.normal(size=len(x_samp), scale=0.06)
y_samp = 2.5 * np.exp(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise
y_samp2 = 2.5 * np.log(1.2 * x_samp) + 0.7 + _noise

代码

方法1-lmfit模型

适合指数数据

regressor = lmfit.models.ExponentialModel()                # 1    
initial_guess = dict(amplitude=1, decay=-1)                # 2
results = regressor.fit(y_samp, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit    

plt.plot(x_samp, y_samp, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

方法2-自定义模型

适合的日志数据

regressor = lmfit.Model(func_log)                          # 1
initial_guess = dict(a=1, b=.1, c=.1)                      # 2
results = regressor.fit(y_samp2, x=x_samp, **initial_guess)
y_fit = results.best_fit

plt.plot(x_samp, y_samp2, "o", label="Data")
plt.plot(x_samp, y_fit, "k--", label="Fit")
plt.legend()

详细信息

选择回归类
提供命名的初始猜测，该猜测符合该函数的域

您可以从回归对象确定推断的参数。示例：

regressor.param_names
# ['decay', 'amplitude']

注意：ExponentialModel()跟随decay function，后者接受两个参数，其中一个为负数。

另请参见ExponentialGaussianModel()，它接受more parameters。

Install通过> pip install lmfit来访问库。

Answer 7

Wolfram为fitting an exponential提供了一个封闭式解决方案。他们也有类似的解决方案来拟合logarithmic和power law。

我发现这比scipy的curve_fit更好。尤其是当您没有“接近零”的数据时。这是一个示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Fit the function y = A * exp(B * x) to the data
# returns (A, B)
# From: https://mathworld.wolfram.com/LeastSquaresFittingExponential.html
def fit_exp(xs, ys):
    S_x2_y = 0.0
    S_y_lny = 0.0
    S_x_y = 0.0
    S_x_y_lny = 0.0
    S_y = 0.0
    for (x,y) in zip(xs, ys):
        S_x2_y += x * x * y
        S_y_lny += y * np.log(y)
        S_x_y += x * y
        S_x_y_lny += x * y * np.log(y)
        S_y += y
    #end
    a = (S_x2_y * S_y_lny - S_x_y * S_x_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    b = (S_y * S_x_y_lny - S_x_y * S_y_lny) / (S_y * S_x2_y - S_x_y * S_x_y)
    return (np.exp(a), b)


xs = [33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]
ys = [3187, 3545, 4045, 4447, 4872, 5660, 5983, 6254, 6681, 7206]

(A, B) = fit_exp(xs, ys)

plt.figure()
plt.plot(xs, ys, 'o-', label='Raw Data')
plt.plot(xs, [A * np.exp(B *x) for x in xs], 'o-', label='Fit')

plt.title('Exponential Fit Test')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.legend(loc='best')
plt.tight_layout()
plt.show()

如何在Python中进行指数和对数曲线拟合？我发现只有多项式拟合

7 个答案: