这个算法的复杂性是什么，我能把它加到无穷大吗？

Question

Func(n)
{
   i = n
   while(i>=1)
      g(i);
      i = i/3;
}

这种算法的复杂性是什么？ （而g（n）的复杂度是theta（n²）） 我假设更大的n你说复杂性是

n²+（n / 3）²+（n /3²）²+（n /3³）².....无穷大。

答案是theta（n²）。 这是真的吗？

Answer 1

正如您所观察到的，循环运行如下。

Iteration 1: n^2 = n^2/3^0
Iteration 2: (n/3)^2 = n^2/3^2
Iteration 3: (n/3^2)^2 = n^2/3^4
Iteration 4: (n/3^3)^2 = n^2/3^6
...
Iteration k: (n/3^(k-1))^2 = n^2/3^(2*(k-1))

使用几何级数求和的公式，我们得到的总时间是

T(iteration1) + T(iteration2) + ... + T(Iterationk)

term 1 = n^2
ratio = 1/9
sum = 9 * n^2 / 8 

当K是一个可以假定为无穷大的大数时。

由于Big O表示法忽略常量，

O( 9* n^2 /8) = O(n^2)

Answer 2

让我们看一下我们手中的系列。

=> n² + (n²/3) + (n/3)² + (n/3²)² + (n/3³)²..... 
taking n² common
=> n² * [ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]

由于[ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]是递减系列，它等于1。

因此答案是O(n²)

<小时/> 编辑1：

证明系列[ 1 + (1/3) + (1/3)² + (1/3²)² + (1/3³)²..... ]的总和，在下面。

Answer 3

严格地说，i是一个整数，很快就会变成0（在floor(log3(n)之后）迭代），所以没有理由去无限。

无论如何，考虑i作为理性结果，近似的真实公式不会改变渐近行为，仍然是O（n²）。近似以两种方式出现

• i / 3可能与楼层（i / 3）不同;

• 可以加入无穷大;小于1的条件只会增加到4/3，这是完全可以忽略的。