擦除后查找矩阵的最大条件数

Question

我正在处理以下问题：给定一个大尺寸的随机高斯矩阵，例如1000乘500.然后任意删除500行并考虑剩下的矩阵的条件数。我们可以获得的最大可能条件数是多少？

这里高斯矩阵意味着矩阵具有i.i.d标准正常条目。我想写一个MATLAB程序来做一些模拟。我该如何编写程序？谢谢你的帮助。

Answer 1

这是一个有趣的问题。我不知道任何理论结果，但很容易设置蒙特卡罗模拟并看到。

请注意，任意删除500行相当于始终删除 last 500行，因为行是i.i.d.并且条件号对于改变行的顺序是不变的。

M = 100; %// initial number of rows
N = 50; %// number of columns
R = 1e4; %// number of Monte Carlo realizations
cond1 = NaN(1,R); %// preallocate
cond2 = NaN(1,R); %// preallocate
for r = 1:R
    X = randn(M,N); %// matrix with i.i.d normalized Gaussian entries
    cond1(r) = cond(X);
    cond2(r) = cond(X(1:N,:));
end
loglog(cond1, cond2, '.', 'markersize', 1) %// scatter plot of results in logarithmic scale
xlabel('Condition number of original matrix')
ylabel('Condition number of reduced matrix')

这是M=100; N=50;的结果。请注意，对于M=100; N=50;，获取大量实现可能需要很长时间。

正如预期的那样，删除行时条件数会增加（虽然我没想到它会增加太多！）。

从获得的向量cond1和cond2中，您可以计算统计数据或百分位数。例如，在每种情况下，只有10％概率超过的值

>> quantile(cond1,.9)
ans =
   5.837510220358853
>> quantile(cond2,.9)
ans =
     9.422516183444204e+02

这意味着在原始矩阵中，条件数的90％次数小于5.8375;而在简化矩阵中，条件数的90％的次数小于942.25。