Question

给定两个数组A和B长度n。 A按升序排序，B按降序排序。查找“product”i最小的索引A[i]^2 + B[i]^2。

我需要O(log(n))中的解决方案，这是所需的复杂性。

示例案例：

>>> A
[0, 4, 10, 12, 17, 28, 31, 32, 35, 39]
>>> B
[39, 34, 34, 31, 27, 23, 19, 11, 3, 2]

这里“产品”被i = 4

最小化

>>> [A[i]**2 + B[i]**2 for i in range(10)]
[1521, 1172, 1256, 1105, 1018, 1313, 1322, 1145, 1234, 1525]
>>> min(range(10), key=lambda i: A[i]**2 + B[i]**2)
4

Answer 1

在我看来，你的问题的答案是“否”，线性算法是最快的。

建设性地，我们可以构建任何长度的序列，其在该序列内的任何随机位置具有最大值。此外，在这些序列上构建的平方和序列是无序的，因此您不能使用适合于排序序列的二分搜索等技术。

例如，如果我们有两个长度为7的数组：

5   8   10  11  12  14  15
12  11  10  9   7   6   1

我们得到如下数组的正方形：

169  185  200  202  193  232  225

我们可以看到，最大值是232，但除了迭代整个数组之外没有办法找到它，因为正方形和的序列是未排序的，最大值位于某个内部。

同样使用一个数组被排序的事实是没用的，因为第二个数组会对总和产生很大的影响，并且没有意义在单个数组上使用类似二进制搜索的东西来尝试评估总和。

我敢肯定，这个问题相当于找到未排序数组中最大的元素，其中线性解决方案最快。

Answer 2

这是一个简单的对抗论点，如果不看所有观点就不可能找到答案。也就是说，该算法为对手提供了一个可能自适应的索引序列来进行检查，并且对手将始终填写一个保留单调性约束的A和B，这将使算法无法在不查询的情况下得到正确的答案。位置。

考虑到2d平面的右上象限，对于某些给定的N.对手只会在单位四分之一圆上堆叠东西，在极坐标中等距离除了最后一个查询。最后，对手会将第N个项目简单地查询到圈内。因此，最后查询的索引是正确的答案。如果查询少于N个，并且算法选择一个查询位置，则攻击者坚持认为一个剩余的未查出位置几乎不在圆圈内，这意味着正确答案的距离小于1，但算法返回距离1。算法选择一个未被攻击的位置，对手将它放在圈外。

Answer 3

要将Edgar的直觉形式化为实际的细胞探针下限，请考虑为i中的[1, n]和算法未知的某些j定义

X[i] = 2 * (n**2 + i)
Y[i] = 2 * (n**2 - i)
A[i] = X[i] + 1 if i == j
       X[i]     if i != j
B[i] = Y[i] + 1 if i == j
       Y[i]     if i != j

我们对假设为A[i]**2 + B[i]**2的{{1}}做了一些分析。

i != j

现在假设A[i]**2 + B[i]**2 == 4 * n**4 + 8 * n**2 * i + 4 * i**2 + 4 * n**4 - 8 * n**2 * i + 4 * i**2 == 8 * n**4 + 8 * i**2 <= 8 * n**4 + 8 * n**2。

i == j

后者总是大于前者。（唉，我们想要一个最小值，而不是一个最大值。这个想法应该基本相同 - 只减少一个而不是增加一个 - 但代数略有不同。）

除A[i]**2 + B[i]**2 == 8 * n**4 + 8 * n**2 + 8 * i**2 + 2 >= 8 * n**4 + 8 * n**2 + 2之外，j变化的数组对的外观相同，因此算法必须平均检查一半索引以确定j，这是此的同义词家人发现正确的输出。

当A和B排序时找到最小A [i] ^ 2 + B [i] ^ 2

3 个答案: