质心中心圆的半径包含多边形的X百分比？

Question

我知道如何计算多边形的质心及其面积，由此可以计算出以质心为中心的圆的半径，该质心包含100％的多边形：它是从质心到最远点的距离。

我的问题是：你怎么找到一个圆的半径R，它包含圆的X％（其中X％<100％）？

以下是一些我认为很好的测试示例几何： L, Square, U and Star Test Geometries

Answer 1

我目前的蛮力方法是：

1）从半径R开始，该半径是包含100％多边形

所需尺寸的一半

2）使用16边正六边形（面积=半径相同的圆的97％）近似圆

3）使用其中一种裁剪方法（例如Weiler-Atherton）找到两个多边形的交点

4）计算交点多边形的面积

5）迭代半径R的值，直到交点的面积除以多边形的面积在（％1.0262 * X％）的E％之内，其中E％是区域中可接受的误差，1.0262乘数占使用圆和十六边形之间的区别。

Answer 2

首先将多边形分解为一组三角形，其中一个顶点位于质心，另外两个形成边缘，具有正或负方向（取决于边缘方向）。三角形的代数区域的总和将等于多边形的面积。

然后考虑单个三角形与生长直径圆的交点区域。这首先以二次方式增长，系数等于中心角，直到满足第一个顶点。然后该区域变得越来越慢，直到满足第二个顶点，并到达整个三角形区域。

通过为所有三角形添加这些函数，您将构建全局交叉区域曲线，该曲线作为顶点距离的函数被分段定义。您将首先确定函数在哪个顶点之间达到总面积的X％。然后，知道曲线的解析表达式，您将找到精确的半径值。这是否可以通过分析或数字来完成取决于三角形区域尾部的表达式。