Question

当我运行以下代码时：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int i = 0;
    volatile long double sum = 0;
    for (i = 1; i < 50; ++i) /* first snippet */
    {
        sum += (long double)1 / i;
    }
    printf("%.20Lf\n", sum);
    sum = 0;
    for (i = 49; i > 0; --i) /* second snippet */
    {
        sum += (long double)1 / i;
    }
    printf("%.20Lf", sum);
    return 0;
}

输出结果为：

4.47920533832942346919
4.47920533832942524555

这两个号码不一样吗？更有趣的是，以下代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
    int i = 0;
    volatile long double sum = 0;
    for (i = 1; i < 100; ++i) /* first snippet */
    {
        sum += (long double)1 / i;
    }
    printf("%.20Lf\n", sum);
    sum = 0;
    for (i = 99; i > 0; --i) /* second snippet */
    {
        sum += (long double)1 / i;
    }
    printf("%.20Lf", sum);
    return 0;
}

产生

5.17737751763962084084
5.17737751763962084084

那么为什么他们现在和现在不同呢？

Answer 1

首先，请更正您的代码。按C标准，%lf不是* printf的主体（'l'为void，数据类型保持双精度）。要打印长双，应使用%Lf。使用您的变体%lf，可能会出现格式不正确，值减少等错误。（您似乎在运行32位环境：在64位中，Unix和Windows在XMM寄存器中都传递了两倍，但是长的其他地方 - 用于Unix的堆栈，用于Windows的指针的内存。在Windows / x86_64上，你的代码将是段错误的，因为被调用者需要指针。但是，使用Visual Studio，long double是AFAIK别名加倍，所以你可以保持对此无知变化。）

其次，您不能确定C编译器没有优化此代码进行编译时计算（可以比默认运行时更精确地完成）。要避免此类优化，请将sum标记为易失性。

通过这些更改，您的代码会显示：

在Linux / amd64，gcc4.8：

表示50：

4.47920533832942505776
4.47920533832942505820

表示100：

5.17737751763962026144
5.17737751763962025971

在FreeBSD / i386，gcc4.8，没有精度设置或使用显式fpsetprec（FP_PD）：

4.47920533832942346919
4.47920533832942524555

5.17737751763962084084
5.17737751763962084084

（与您的示例相同）;

但是，使用fpsetprec（FP_PE）在FreeBSD上进行相同的测试，它将FPU切换为真正的长双操作：

4.47920533832942505776
4.47920533832942505820

5.17737751763962026144
5.17737751763962025971

与Linux案例相同;所以，在 real long double中，100个加法有一些真正的区别，根据常识，它大于50。但是你的平台默认舍入为double。

最后，总的来说，这是众所周知的有限精度和随后的舍入效应。例如，在this classical book中，在第一章中解释了减少数字序列和的这种错误。

我现在还没准备好用50个加法来调查结果的来源并且舍入到加倍，为什么它显示出如此巨大的差异以及为什么这个差异用100个加法补偿。这需要比我现在能够负担得起的更深入的调查，但是，我希望，这个答案清楚地告诉你下一个挖掘的地方。

更新：如果是Windows，您可以使用_controlfp()和_controlfp_s().操纵FPU模式在Linux中，_FPU_SETCW也是如此。 This description详细说明了一些细节并提供了示例代码。

UPDATE2：使用Kahan summation可以在所有情况下获得稳定的结果。以下显示4个值：升序i，无KS;提升我，KS;降临我，没有KS;降临我，KS：

50和FPU加倍：

4.47920533832942346919 4.47920533832942524555
4.47920533832942524555 4.47920533832942524555

100和FPU加倍：

5.17737751763962084084 5.17737751763961995266
5.17737751763962084084 5.17737751763961995266

50和FPU加倍：

4.47920533832942505776 4.47920533832942524555
4.47920533832942505820 4.47920533832942524555

100和FPU加倍：

5.17737751763962026144 5.17737751763961995266
5.17737751763962025971 5.17737751763961995266

你可以看到差异消失，结果稳定。我认为这几乎是最后一点，可以在这里添加：）

为什么这两个片段会产生不同的价值？

1 个答案: