麻烦正规化Python中的后验分布

Question

我正在编写一篇Dirichlet-Multinomial posterior在我读过的论文中的推导，我无法将分布总和加到1.这是代码的简化形式：

def pcn(X, n, N, c, alpha):
    pnc = np.math.factorial(np.sum([n[i] for i in range(len(n))]))/ \
          np.product([np.math.factorial(n[i]) for i in range(len(n))])* \
          np.product([c[i]**n[i] for i in range(len(n))])
    pc = G(len(X)*alpha)/ \
         np.product([G(alpha) for i in range(len(n)) if i in X])* \
         np.product([(c[i])**(alpha - 1) for i in range(len(n)) if i in X])
    pn = np.math.factorial(N)/ \
         np.product([np.math.factorial(n[i]) for i in range(len(n)) if i in X])* \
         G(len(X)*alpha)/ \
         G(len(X)*alpha + N)* \
         np.product([G(alpha + n[i])/G(alpha) for i in range(len(n)) if i in X])
    return pnc

我在这里简化了删除分割的部分：

def pcns(X, n, N, c, alpha):
    pnc = np.product([c[i]**n[i] for i in range(len(n))])

    pc = np.product([(c[i])**(alpha - 1) for i in range(len(n))])/ \
         np.product([G(alpha) for i in range(len(n))])

    pn = np.product([G(alpha + n[i])/G(alpha) for i in range(len(n))])/ \
         G(len(X)*alpha + N)

    return pnc * pc / pn

我设置输入变量并将c数组初始化为输入：

X = [0,1]
n = [6.0, 3.0]
N = sum(n)
alpha = 20
c = np.linspace(0, 1, 1000)

然后我迭代c并在每个c和情节评估我的后验函数：

dist = []
for i in c:
    dist.append(pcns(X, n, N, [i, 1-i], alpha))

plt.plot(c,dist)

我总结dist时得到的值是999或len(c) - 1。有人会碰巧知道为什么它不会有一些吗？

Answer 1

tl; dr：你正在计算一个定积分的离散近似，忘了将这些碎片乘以dx~ = delta_x。

即使这是一个正确归一化的概率分布，为什么dist 总和为1？由于我们没有G我无法准确再现您的结果，所以让我们考虑一个简单的高斯。我们可以将均值设置为0.5，将stddev设置为小的值，因此0到1的范围应包含大部分概率：

>>> import scipy.stats
>>> c = np.linspace(0, 1, 1000)
>>> p = scipy.stats.norm(0.5,0.02).pdf(c)
>>> sum(p)
999.00000000000045

又有999了。但是，为什么应该这个为1？应该是1的数量是总的综合概率。在这里，我们只是在某些点上获取概率分布函数的值并将它们加在一起。

更简单的例子：我们知道从0到1的x ^ 2的定积分是1/3，但是

>>> x = np.linspace(0, 1, 1000)
>>> sum(x**2)
333.50016683350009

当我们真的想要更像的东西时（粗略的矩形近似，略高于期望的答案，因为我们包括x = 1点的贡献，并且该框实际上超出了积分区域）：

>>> sum(x**2) * (x[1]-x[0])
0.3338340008343344

或者您之前的情况

>>> sum(p) * (c[1]-c[0])
1.0000000000000004

请注意，在这里我们可以写* (c[1]-c[0])因为c是等间距的，所以每个＆＃34; dx＆＃34; Int(p(x) dx) ~= sum(p[x] * delta_x)中的内容是相同的。一般来说，我们想要的更像sum(p[:-1] * np.diff(c))。