不同参数的指数分布的总和

Question

我刚刚用不同的lambda计算了两个指数分布的总和。

众所周知，指数分布的总和是Erlang（Gamma）分布。

但是，当lamdbas不同时，结果会有点不同。

无论如何看下面的等式。

现在，问题是（alpha_1λ_2-alpha_2λ_1）。

（alpha_1λ_2-alpha_2λ_1）变为0

因此，最后两个术语变为无限......

这是真的吗？

我制作一些简单的matlab代码进行验证。

clc;
clear;
mu=[1 2];
a1 = mu(1)/(mu(1)+mu(2));
a2 = mu(2)/(mu(1)+mu(2));
n = 10^6;
x = exprnd(mu(1), [1, n]);
y = exprnd(mu(2), [1, n]); 
z = a1*x + a2*y;
figure
histfit(z, 100 ,'gamma')`

该数字为PDF = Z = alpha_1 * X + alpha_2 * Y.

这种情况是λ_1= 1，λ_1= 2。 （红线是伽玛分布。）

matlab的结果显示随机变量Z不是无限值。

我的计算中有什么问题？

Answer 1

我在积分计算中遇到了问题。在第6行，e ^ - （lambda2-alpha2 * lambda1 / alpha1）= 1，因此，第7行中没有术语alpha1 /（alpha1 * lambda2-alpha2 * lambda1）。