张量流中的矩阵行列式微分

Question

我对使用TensorFlow计算矩阵行列式的导数感兴趣。我从实验中可以看出，TensorFlow还没有实现一种区分决定因素的方法：

LookupError: No gradient defined for operation 'MatrixDeterminant' 
(op type: MatrixDeterminant)

进一步的调查显示，实际上可以计算导数;例如，见Jacobi's formula。我确定为了实现这种通过决定因素来区分我需要使用函数装饰器的方法，

@tf.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _sub_grad(op, grad):
    ...

但是，我对张量流不熟悉，无法理解如何实现这一目标。有没有人对此事有任何见解？

以下是我遇到此问题的一个例子：

x = tf.Variable(tf.ones(shape=[1]))
y = tf.Variable(tf.ones(shape=[1]))

A = tf.reshape(
    tf.pack([tf.sin(x), tf.zeros([1, ]), tf.zeros([1, ]), tf.cos(y)]), (2,2)
)
loss = tf.square(tf.matrix_determinant(A))


optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.001)
train = optimizer.minimize(loss)

init = tf.initialize_all_variables()
sess = tf.Session()
sess.run(init)


for step in xrange(100):
    sess.run(train)
    print sess.run(x)

Answer 1

请检查＆＃34;在Python中实现渐变＆＃34;第here部分

特别是，您可以按照以下方式实现它

@ops.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _MatrixDeterminantGrad(op, grad):
  """Gradient for MatrixDeterminant. Use formula from 2.2.4 from
  An extended collection of matrix derivative results for forward and reverse
  mode algorithmic differentiation by Mike Giles
  -- http://eprints.maths.ox.ac.uk/1079/1/NA-08-01.pdf
"""
  A = op.inputs[0]
  C = op.outputs[0]
  Ainv = tf.matrix_inverse(A)
  return grad*C*tf.transpose(Ainv)

然后是一个简单的训练循环来检查它是否有效：

a0 = np.array([[1,2],[3,4]]).astype(np.float32)
a = tf.Variable(a0)
b = tf.square(tf.matrix_determinant(a))
init_op = tf.initialize_all_variables()
sess = tf.InteractiveSession()
init_op.run()

minimization_steps = 50
learning_rate = 0.001
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer(learning_rate)
train_op = optimizer.minimize(b)

losses = []
for i in range(minimization_steps):
  train_op.run()
  losses.append(b.eval())

然后你可以看出你的损失随着时间的推移

import matplotlib.pyplot as plt

plt.ylabel("Determinant Squared")
plt.xlabel("Iterations")
plt.plot(losses)

应该看到这样的事情

Answer 2

我认为你对什么是矩阵行列式的衍生物感到困惑。

矩阵行列式是一个通过某个公式计算矩阵元素的函数。因此，如果矩阵的所有元素都是数字，那么您只需要一个数字，并且导数将是0。当某些元素是变量时，您将获得这些变量的表达式。例如：

x, x^2
1, sin(x)

决定因素为x*sin(x) - x^2，导数为2x + sin(x) + x*cos(x)。雅可比公式只是将行列式与附加矩阵联系起来。

在您的示例中，您的矩阵A仅由数字组成，因此行列式只是一个数字，loss也只是一个数字。 GradientDescentOptimizer需要有一些自由变量才能最小化而且没有任何变量，因为loss只是一个数字。

Answer 3

对于那些感兴趣的人，我发现了解决我的问题的解决方案：

@tf.RegisterGradient("MatrixDeterminant")
def _MatrixDeterminant(op, grad):
    """Gradient for MatrixDeterminant."""
    return op.outputs[0] * tf.transpose(tf.matrix_inverse(op.inputs[0]))