Question

前提

我有一个圆圈，动画成8个贝塞尔曲线的形状。为了使过渡平滑，我需要用8个立方贝塞尔曲线制作圆。这是我到目前为止所做的：

代码

- (UIBezierPath*)pathBubbleLeft {
    UIBezierPath *path = [UIBezierPath new];
    [path moveToPoint:p(sqlx, sqlMidy)];

    CGFloat r = sqlW/2;
    CGFloat sin45 = 0.7071 * r;
    CGFloat cos45 = 0.7071 * r;

    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx - cos45, sqlMidy - sin45) control1:vector(0, 0.4) control2:vector(0.5, 0.8)];
    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx, sqly) control1:vector(0.2, 0.5) control2:vector(0.4, 1)];

    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx + cos45, sqlMidy - sin45) control1:vector(0.6, 0) control2:vector(0.8, 0.5)];
    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMaxx, sqlMidy) control1:vector(0.5, 0.2) control2:vector(1, 0.5)];

    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx + cos45, sqlMidy + sin45) control1:vector(0, 0.4) control2:vector(0.5, 0.8)];
    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx, sqlMaxy) control1:vector(0.2, 0.5) control2:vector(0.4, 1)];

    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlMidx - cos45, sqlMidy + sin45) control1:vector(0.6, 0) control2:vector(0.8, 0.5)];
    [path addRelativeCurveToPoint:point(sqlx, sqlMidy) control1:vector(0.5, 0.2) control2:vector(1, 0.5)];

    return path;
}

路径从左开始顺时针（从pi到pi / 2,0,3pi / 4，pi）

point和vector是CGPointMake和CGVectorMake的短片

'sql'位于sqlx，sqly，sqlMidx，sqlMidY，sqlMaxx＆amp; sqlMaxy代表'squareLeft'，圆圈的边界矩形。这些都是CGFloats。

addRelativeCurveToPoint用于相对于起点/终点定义控制点。（0,0）开始，（1,1）结束。更容易阅读。

- (void)addRelativeCurveToPoint:(CGPoint)endPoint control1:(CGVector)controlPoint1 control2:(CGVector)controlPoint2 {
    CGPoint start = self.currentPoint;
    CGPoint end = endPoint;
    CGFloat x1 = start.x + controlPoint1.dx*(end.x - start.x);
    CGFloat x2 = start.x + controlPoint2.dx*(end.x - start.x);
    CGFloat y1 = start.y + controlPoint1.dy*(end.y - start.y);
    CGFloat y2 = start.y + controlPoint2.dy*(end.y - start.y);
    [self addCurveToPoint:endPoint controlPoint1:CGPointMake(x1, y1) controlPoint2:CGPointMake(x2, y2)];
}

到目前为止的结果：

红色圆圈有点波浪状。这就是我想解决的问题。

下面，左侧圆圈使用上面的代码，右侧圆圈由4条曲线组成，顶部插入2个零长度，底部插入2个（[path addLineToPoint:path.currentPoint];）。

从左边到花生中间过渡是好的，但从中间到右边是奇怪的

Answer 1

使用四个线段，使用三次贝塞尔曲线的圆近似不能比@fang在评论中给出的0.55228值更圆：它只是数学上唯一的值，立方体贝塞尔曲线最接近圆形。在无限精度表示中，它实际上是您获得的值：

     4        angle       4                     sqrt(2) - 1
k =  - * tan(-------)  =  - * tan(pi/8)  =  4 * -----------
     3          2         3                          3

并且是0.5522847498307933984022516322796 [...]。这可以为您提供4个段的最佳近似值，因此如果您需要使用8个段，我们需要一个不同的值，这意味着我们需要使用为 k 提供pi的角度的推导/ 2（四分之一圈），看看它为pi / 4（第八个圆圈）提供了什么。所以：我们将角度pi/4插入Primer on Bezier Curve的approximating circles with cubic curves部分中列出的函数中，我们得到：

start = {
  x: 1,
  y: 0
}

c1 = {
  x: 1,
  y: 4/3 * tan(pi/16)
}

c2 = {
  x: cos(pi/4) + 4/3 * tan(pi/16) * sin(pi/4)
  y: sin(pi/4) - 4/3 * tan(pi/16) * cos(pi/4)
}

e = {
  x: cos(pi/4)
  y: sin(pi/4)
}

给了我们这些（完全有用的）近似坐标：

s  = (1,           0)
c1 = (1,           0.265216...)
c2 = (0.894643..., 0.51957...)
e  = (0.7071...,   0.7071...)

那将是段1，然后其余的段只是通过对称得出，段2是：

s  = (0.7071...,   0.7071...)
c1 = (0.51957...,  0.894643...)
c2 = (0.265216..., 1)
e  = (0,           1)

这些坐标的演示覆盖了四分之一圆圈：http://jsbin.com/ridedahixu/edit?html,output

其余的是（+， - ），（ - ，+）和（ - ， - ）象限中明显的对称性。

这些是最佳可能近似值，因此：如果bezierPathWithOvalInRect(...)执行其他操作，那么不正确比我们几十年前制定的值=）< / p>

Answer 2

当圆由四条贝塞尔曲线近似时，第一个控制点（在（1,0）起点之后）具有坐标（1,0.552）。对于8曲线情况，由于Bezies细分规则，它将为（1,0.276）。

所以你的控制向量是（0,0.276），（0.276,0），（0.195,0.195），具有不同的符号组合

Answer 3

OP解决方案。

基于迈克的答案

- (CGRect)sql {
    return CGRectMake(0, 0, self.frameHeight, self.frameHeight);
}

CGPoint point(CGFloat x, CGFloat y) {return CGPointMake(x, y);}

#define sqlx (self.sql.origin.x)
#define sqly (self.sql.origin.y)
#define sqlMaxx (self.sql.origin.x + self.sql.size.width)
#define sqlMidx (self.sql.origin.x + self.sql.size.width/2)
#define sqlMaxy (self.sql.origin.y + self.sql.size.height)
#define sqlMidy (self.sql.origin.y + self.sql.size.height/2)
#define sqlW (self.sql.size.width)
#define sqlH (self.sql.size.height)


- (UIBezierPath*)pathBubbleLeft {
    UIBezierPath *path = [UIBezierPath new];
    [path moveToPoint:p(sqlx, sqlMidy)];

    CGFloat r = sqlW/2;
    CGFloat sin45 = sin(M_PI_4)*r;
    CGFloat cos45 = cos(M_PI_4)*r;

    CGFloat magic1 = (cos(M_PI_4) + 4/3.0 * tan(M_PI/16.0) * sin(M_PI_4))*r;
    CGFloat magic2 = (sin(M_PI_4) - 4/3.0 * tan(M_PI/16.0) * cos(M_PI_4))*r;
    CGFloat magic3 = 4/3.0 * tan(M_PI/16.0)*r;

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx - cos45, sqlMidy - sin45)
            controlPoint1:point(sqlx, sqlMidy - magic3)
            controlPoint2:point(sqlMidx - magic1, sqlMidy - magic2)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx, sqly)
            controlPoint1:point(sqlMidx - magic2 , sqlMidy - magic1)
            controlPoint2:point(sqlMidx - magic3, sqly)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx + cos45, sqlMidy - sin45)
            controlPoint1:point(sqlMidx + magic3, sqly)
            controlPoint2:point(sqlMidx + magic2 , sqlMidy - magic1)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMaxx, sqlMidy)
            controlPoint1:point(sqlMidx + magic1 , sqlMidy - magic2)
            controlPoint2:point(sqlMaxx, sqlMidy - magic3)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx + cos45, sqlMidy + sin45)
            controlPoint1:point(sqlMaxx, sqlMidy + magic3)
            controlPoint2:point(sqlMidx + magic1 , sqlMidy + magic2)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx, sqlMaxy)
            controlPoint1:point(sqlMidx + magic2 , sqlMidy + magic1)
            controlPoint2:point(sqlMidx + magic3, sqlMaxy)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlMidx - cos45, sqlMidy + sin45)
            controlPoint1:point(sqlMidx - magic3 , sqlMaxy)
            controlPoint2:point(sqlMidx - magic2 , sqlMidy + magic1)];

    [path addCurveToPoint:point(sqlx, sqlMidy)
            controlPoint1:point(sqlMidx - magic1 , sqlMidy + magic2)
            controlPoint2:point(sqlx, sqlMidy + magic3)];

    return path;
}

结果：浅灰色是pathBubbleLeft，红色描边是bezierPathWithOvalInRect（恕我直言，这很完美）。

观察：

此代码适用于iOS，其坐标（0,0）位于左上方，坐标（320,548）位于右下方。对于MacOS（0,0）位于左下方；

绘图从9点开始，并顺时针旋转；

哪个是使用8个三次贝塞尔曲线创建（近似）圆的控制点

3 个答案: