Question

设H(n)为n的Hilbert矩阵。

设e = (0,...,0,1) - 单位矢量。

让e_im := H(n) * e。

我使用一些计算机代数系统解决H(n) * x_1 = e_im。

让r = (r_1,...,r_n)为小型随机向量。

让(e + r)_im := H(n) * (e + r)。

我使用一些计算机代数系统解决H(n) * x_2 = (e + r)_im。

为什么剩余|| H(n) * x_1 - e_im ||如此之小，但|| H(n) * x_2 - (e + r)_im||如此之大？

我使用numpy和scipy.linalg，我的代码：

H = scipy.linalg.hilbert(500)

e = numpy.zeros((500, 1))

e[499] = 1

e_im = H.dot(e)

x_1 = scipy.linalg.solve(H, e_im)

r = 0.0001 * numpy.random.rand(500, 1)

e_plusr_im = e + r

x_2 = scipy.linalg.solve(H, e_plusr_im)

Residials = [scipy.linalg.norm(H.dot(x_1) - b_1, 2), scipy.linalg.norm(H.dot(x_2) - b_2, 2)]

Answer 1

这是众所周知的数值线性代数现象，（参见大多数线性代数课程资料）。

矩阵的condition number kappa(A) = ||A|| ||A^-1||表示矩阵求逆在一般情况下放大了多少错误。这里：

>>> import scipy.linalg
>>> import numpy as np
>>> H = scipy.linalg.hilbert(500)
>>> np.linalg.cond(H)
4.6335026663215786e+20

根据经验，（确定性）浮点误差对于64位浮点数具有相对大小1e-16。条件数是如此之大，以致得到的误差具有相对大小> 1，所以除非你很幸运，并且解决方案和中间计算具有精确的浮点表示，否则你可能会失去所有精度。如果您手动添加噪音，它也会被放大。

不稳定希尔伯特矩阵单位向量

1 个答案: