我一直在努力解决项目Euler问题列表，我来到了一个我知道如何解决的问题，但似乎我不能（根据我的解决方案的编写方式）
我正在使用Common Lisp执行此操作，并且我的脚本已运行超过24小时（远超过他们的一分钟目标）。
为了简洁起见，这是我的解决方案（这是一个扰流板，但只有你有一个快速处理器的地狱）：
(defun square? (num)
(if (integerp (sqrt num)) T))
(defun factors (num)
(let ((l '()))
(do ((current 1 (1+ current)))
((> current (/ num current)))
(if (= 0 (mod num current))
(if (= current (/ num current))
(setf l (append l (list current)))
(setf l (append l (list current (/ num current)))))))
(sort l #'< )))
(defun o_2 (n)
(reduce #'+ (mapcar (lambda (x) (* x x)) (factors n))))
(defun sum-divisor-squares (limit)
(loop for i from 1 to limit when (square? (o_2 i)) summing i))
(defun euler-211 ()
(sum-divisor-squares 64000000))
使用更小，更友好的测试参数解决问题所需的时间似乎比exponentialy大得多......这是一个真正的问题。
花了：
我真的想弄清楚脚本的哪个部分导致它花了这么长时间。我已经考虑了记住因子函数，但我对如何实际实现它感到茫然。
对于那些想要查看问题本身的人，here it be。
关于如何让这件事变得更快的任何想法都将非常感激。
**对不起，如果这对任何人都是一个扰流板，它并不意味着....但是如果你有足够的计算能力在相当长的时间内运行它，那么你就有更多的力量。
答案 0 :(得分：14)
这是一个解决方案，牢记[Project] Euler的精神。 [警告：剧透。我试图保持缓慢的提示，这样你只能阅读部分答案并根据自己的想法自己思考。 ：）]
当你面临与数字有关的问题时，一个好的策略（正如你可能从解决210项目Euler问题中已经知道的那样）就是看一些小例子，找到一个模式并证明它。 [最后一部分可能是可选的，取决于你对数学的态度; - ）]
在这个问题中，看一些小例子 - 对于n = 1,2,3,4，......可能不会给你任何提示。但是在处理数论问题时还有另一种“小例子”的意义，你现在也可能知道这些问题 - 素数是自然数的构成块，所以从素数开始。
对于素数p，其唯一的除数是1和p，因此其除数的平方和为1 + p 2 。
对于素数p k ，其唯一的除数是1，p，p 2 ，... p k ，因此，它的除数是1 + p + p 2 + ... + p k =（p k + 1 -1）/（p-1） 。
这是最简单的情况：你已经解决了只有一个素因子的所有数字的问题。
到目前为止没什么特别的。现在假设你的数字n有两个素因子，比如说n = pq。那么它的因子是1，p，q和pq，所以它的除数的平方和是1 + p 2 + q 2 + p 2 q 2 =（1个+ p 2 ）（1个+ q 2 ）。
那么n = p a q b ？它的因素的平方和是多少？
[............................危险阅读下面的这行............ .......]
Σ0≤c≤a，0≤d≤b（p c q d ） 2 =（（p a + 1 -1）/（p-1））（（q b + 1 -1）/（q-1））。
这应该给你提示，无论是答案是什么以及如何证明它：n的除数之和仅仅是其因子分解中每个主要权力的（答案）的乘积，所以所有你需要做的是分解64000000（即使在一个人的头脑中很容易做到:-)）并将每个的答案（=两者，因为唯一的素数是2和5）乘以其主要权力。
解决了Project Euler问题;现在是剥夺它的道德。
这里更普遍的事实是关于乘法函数 - 自然数上的函数，只要gcd（m，n）= 1，f（mn）= f（m）f（n） ，即m和n没有共同的素因子。如果你有这样一个函数，那么特定数字的函数值完全取决于它在主要权力下的值（你能证明这一点吗？）
稍微更难的事实，你可以试图证明[它不是 很难]，这是：如果你有一个乘法函数f [here，f（n）= n 2 ]并将函数F定义为F（n）=Σ d除n f（d），（如此问题所示）则F（n）也是乘法功能
[事实上something very beautiful是真的，但是暂时不要看它，你可能永远不需要它。 ： - ）]
答案 1 :(得分：3)
我认为您的算法不是最有效的算法。提示：你可能从错误的一方开始。
编辑：我想补充一点，选择64000000作为上限可能是问题海报告诉你更好地思考问题的方法。
编辑：一些效率提示：
(setf l (append l (...)))
你可以使用
(push (...) l)
通过使用您的值为car且将前l作为cdr的新单元格破坏性地修改您的列表，然后将l指向此单元格。这比每次必须遍历列表的追加要快得多。如果您需要其他顺序的列表，则可以在完成后对其进行反转（但这里不需要）。
为什么要对l进行排序？
您可以通过与num的平方根进行比较来提高(> current (/ num current))的效率（只需要为每个数字计算一次）。
是否有可能更有效地找到数字的因子？
一个样式提示：您可以将l的范围放入do声明：
(do ((l ())
(current 1 (+ current 1)))
((> current (/ num current))
l)
...)
答案 2 :(得分：2)
我会通过对数字进行素数因子分解来对此进行攻击（例如：300 = 2 ^ 2 * 3 ^ 1 * 5 ^ 2），这是相对较快的，特别是如果你通过筛子生成它。由此，通过迭代i = 0..2生成因子相对简单; J = 0..1; k = 0..2，做2 ^ i * 3 ^ j * 5 ^ k。
5 3 2 ----- 0 0 0 = 1 0 0 1 = 2 0 0 2 = 4 0 1 0 = 3 0 1 1 = 6 0 1 2 = 12 1 0 0 = 5 1 0 1 = 10 1 0 2 = 20 1 1 0 = 15 1 1 1 = 30 1 1 2 = 60 2 0 0 = 25 2 0 1 = 50 2 0 2 = 100 2 1 0 = 75 2 1 1 = 150 2 1 2 = 300
这可能不够快
答案 3 :(得分：2)
你缺少的聪明伎俩是你根本不需要考虑数字 1..N中有多少个数字是1的倍数？ ñ 1..N中有多少个数是2的倍数？ N / 2
诀窍是在列表中对每个数字的因子求和。 对于1，将1 ^ 2添加到列表中的每个数字。对于2，将2 ^ 2添加到每个其他数字。 对于3，每3个数字加3 ^ 2。
根本不检查是否可分。 最后，你必须检查总和是否是一个完美的正方形，就是这样。 在C ++中，我在58秒内工作。
答案 4 :(得分：1)
抱歉，我不太了解LISP，以便您阅读答案。但我的第一印象是蛮力解决方案的时间成本应该是：
打开括号
sqrt（k）找到k的除数（通过试验除法），每个除数（每个因子的常数时间），并求它们（每个因子的恒定时间）。这是σ 2 （k），我将其称为x。
加
不确定良好的整数平方根算法的复杂性是什么，但肯定不比sqrt（x）（哑试验乘法）差。 x可能是大于O的大O，所以我在这里保留判断，但是x显然在k ^ 3之上，因为k最多有k个除数，每个除数本身不大于k，因此它的正方形不大于k ^ 2。我的数学学位已经很久了，我不知道Newton-Raphson收敛的速度有多快，但我怀疑它比sqrt（x）更快，如果所有其他方法都失败了，二元斩是log（x）。
关闭括号
乘以n（k范围为1 .. n）。
因此，如果您的算法比O（n * sqrt（n ^ 3））= O（n ^（5/2））更差，则在dumb-sqrt情况下，或者O（n *（sqrt（n）） + log（n ^ 3））= O（n ^ 3/2）在聪明的sqrt情况下，我认为出现了一些错误，应该可以在算法中识别出来。此时我被卡住了因为我不能调试你的LISP。
哦，我假设算术是使用中的数字的常数时间。它应该适用于小到6400万的数字，并且它的立方体很适合64位无符号整数。但即使你的LISP实现使算法比O（1）差，它也不应该比O（log n）差，所以它不会对复杂性产生太大影响。当然不会使它成为超多项式。
这是有人出现并告诉我我有多错误的地方。
哎呀，我只看了你的实际时间数字。它们并不比指数更差。忽略第一个和最后一个值（因为小的时间不能精确测量而你还没有完成），将n乘以10会使时间乘以不超过30-ish。 30是大约10 ^ 1.5，这对于如上所述的强力是正确的。答案 5 :(得分：0)
我认为你可以用类似筛子的东西来解决这个问题。这只是我的第一印象。
答案 6 :(得分：0)
我已经使用这里的评论中的一些注释重新编写了该程序。 '因素'功能现在效率稍高，我还必须修改σ_（2）（n）函数以接受新输出。
'因素'来自于输出：
$ (factors 10) => (1 2 5 10)
有一个喜欢
$ (factors 10) => ((2 5) (1 10))
修改后的功能如下：
(defun o_2 (n)
"sum of squares of divisors"
(reduce #'+ (mapcar (lambda (x) (* x x)) (reduce #'append (factors n)))))
在我做了适度的重写之后，我在计算中只保存了大约7秒钟。
看起来我将不得不离开我的屁股并写一个更直接的方法。