Question

我有一个定向的彩色图形（每个节点都有一个颜色），我想查找是否存在从节点A到节点B的路径，以便路径在MOST一次通过每种颜色。

我认为这个问题可以用网络流程来制定。不知何故，如果节点重复，可以对相同颜色的节点施加惩罚，使得流0或无穷大。

谢谢！

Answer 1

只需执行普通的DFS，但也要保留颜色列表和每个的布尔值。如果您要访问具有某种颜色的节点，并且相应的布尔值为false，请将其设置为true并访问它;否则不要访问该节点并继续递归。如果你没有到达B就终止，那么显然没有路径。

编辑：如果某些选定的路径不起作用，并且递归回溯，重置与您回溯过去的节点颜色相关联的布尔值。

Answer 2

假设您想使用搜索算法进行此操作，您最有可能使用深度优先回溯，从图表中删除（或标记已经访问过）您访问的每个节点

将为访问的颜色保留哈希表，以快速检查您找到的每种新颜色（如果已知或未知）（或检查图表上的访问路径，从A到C [=当前]或从C到A [无关紧要] ]如果您不能使用单独的结构，但只在图表上附加属性。）

对于回溯，您可以在从导致死端的传出链接回溯到节点（无法到达B）之后检查下一个传出链接。这假设链接有一些隐式排序（可以请求下一个链接 - 并检查它是否是一个外发链接或请求下一个链接，直到没有更多可用 - 当你有一个节点和一些其他外向链接时，你通过它回溯时回来））

然而，应该有更好的算法对图形进行一些（可并行化的）预处理，并在节点和/或链接上附加值，以帮助从给定颜色或任何颜色中搜索

Answer 3

这是NP-hard通过减少特殊情况＆＃34;路径与禁止对＆＃34;所有禁止对都要求不相交的问题。只需为每个禁用对分配一些颜色。＆＃34;带有禁止对的路径＆＃34;是一个众所周知的NP难问题（即使在不相交的情况下，它仍然是NP难的）。在Garey和Johnson的书中，它有标识符＆＃34; GT54＆＃34;。

但是如果非唯一颜色（k）的数量是一个小常数，则可以应用具有时间复杂度O的修改后的BFS算法（| E | * 2 ^{2 * k}）

这里我解释一下这个BFS算法（从简化版开始）：

路径访问的所有节点的颜色应编码为bitset，例如，如果我们有3种可用颜色（红色，绿色，蓝色）和访问绿色节点的路径，则编码为010 ;在此路径也访问红色节点后，它被编码为011。路径颜色与最后访问的节点一起存储在BFS队列中。

每个节点都应存储一些＆＃34;访问过的＆＃34;每种颜色组合的标志。假设有三种颜色的示例，每个未访问的节点将存储8个布尔值＆＃34; false＆＃34;值。用红色/绿色路径访问此节点后，其访问了＃34;标志应更改为以下内容：

index.bool  index.dec  visited_flag
       000          0         false
       001          1         false
       010          2         false
       011          3          true
       100          4         false
       101          5         false
       110          6         false
       111          7         false

如果算法在处理具有相同颜色组合的路径时遇到相同的节点，则应该忽略它，因为＆＃34; true＆＃34;参观过国旗。

BFS算法主循环的伪代码可以改写为：

 while Q is not empty:

     (u, c) = Q.dequeue()

     for each node n that is adjacent to u:
         if (c & n.color) == 0 && n.visited[c] == false:
             n.visited[c] = true
             Q.enqueue((n, c | n.color))

算法像往常一样终止：到达目标（路径存在）或BFS队列变空（路径不存在）。

该算法的最坏情况时间复杂度为O（| E | * 2 ^k）。它还在做很多冗余的工作。由于在BFS算法中，较短（且较少彩色）的路径被认为比较长的路径更早，因此可能首先使用红色路径访问某个节点，然后通过绿色路径访问，然后通过红色/绿色路径访问。在这种情况下，处理此红色/绿色路径无法提供任何改进。这意味着我们可以通过将红色/绿色标记为＆＃34;访问＆＃34;来加速算法。早些时候，处理绿色路径。这种优化不是免费的：它需要在处理每个路径/节点组合时标记几个标志，并且它将最坏情况时间复杂度增加到O（| E | * 2 ^{2 * k}）。但是所有额外的工作都是在节点内部完成的。此外，如果所有2个^k标志都适合单个CPU寄存器，则所有这些工作都可以并行完成，并采用按位逻辑运算。

是否只存在一种通过每种颜色的路径？

3 个答案: