Question

堆栈！是否有可能在现代Haskell中定义Omega组合器（λx.xx）？我想，Haskell98的类型系统旨在使这样的事情变得不可能，但现代扩展呢？

Answer 1

你不能直接在Haskell中代表omega。很少有类型系统可以代表自我应用程序，Haskell的类型系统不是其中之一。但你可以编码无类型的lambda演算并模拟omega和self应用程序，如下所示：

data Scott = Scott { apply :: Scott -> Scott }

omega = Scott $ \x -> apply x x

现在你可以说apply omega omega并获得一个非终止计算。如果您想在GHCi中试用它，您可能需要以下Show实例

instance Show Scott where
  show (Scott _) = "Scott"

Answer 2

不，但有点儿。这里需要注意的是Haskell在newtype声明中支持不受限制的递归。通过Haskell的语义，newtype是被定义的类型与其实现类型之间的同构。例如，这个定义：

newtype Identity a = Identity { runIdentity :: a }

...断言类型Identity a和a是同构的。根据定义，构造函数Identity :: a -> Identity a和观察者runIdentity :: Identity a -> a是反转的。

所以从svenningsson的答案借用Scott类型名称，以下定义：

newtype Scott = Scott { apply :: Scott -> Scott }

...断言类型Scott与Scott -> Scott同构。因此，当您无法直接将Scott应用于自身时，您可以使用同构来获取其Scott -> Scott对应物并将其应用于原始对象：

omega :: Scott -> Scott
omega x = apply x x

或稍微有趣：

omega' :: (Scott -> Scott) -> Scott
omega' f = f (Scott f)

...这是一个固定点组合类型！这个技巧可以适用于在Haskell中编写Y组合器的版本：

module Fix where

newtype Scott a = Scott { apply :: Scott a -> a }

-- | This version of 'fix' is fundamentally the Y combinator, but using the
-- 'Scott' type to get around Haskell's prohibition on self-application (see
-- the expression @apply x x@, which is @x@ applied to itself).  Example:
--
-- >>> take 15 $ fix ([1..10]++)
-- [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1,2,3,4,5]
fix :: (a -> a) -> a
fix f = (\x -> f (apply x x)) (Scott (\x -> f (apply x x)))

Answer 3

嗯，你可以定义：

{-# LANGUAGE Rank2Types #-}

omega :: (forall a . a) -> b
omega x = x x

然而这几乎没用，因为唯一可以作为参数传递的值是undefined，所以你根本不能将它用作组合器。即使omega omega无法输入检查。

问题在于，x x要进行类型检查，您必须键入x类型T = t -> s，其中t与{{1}结合使用（以便您可以将T传递给自己）。但这基本上意味着x必须是一个类型变量，并且参数必须是完全多态的，这使得函数无用。

Answer 4

那么，

omega :: a -> a
omega x = unsafeCoerce x x

甚至

omega :: a -> IO a
omega x = do
    putStrLn "Why are you doing this to me?"
    unsafeCoerce x x

main = omega omega

无限期打印＆＃34;你为什么这样对我？＆＃34;。

是否有可能在现代Haskell中定义Omega组合子（λx.xx）？

4 个答案: