为什么（e ^ x-1）/ x不能正常工作，但是（e ^ x-1）/ log（e ^ x）呢？

Question

我想问一个问题为什么（e ^ x-1）/ x对于非常接近零的数字的计算值不能正常工作（例如，如果x = 10 ^ -15，结果是1.1102230），但是当我使用公式（e ^ x-1）/ log（e ^ x）时，它是数学等价的，它给出了正确的结果1.000000。感谢。

Answer 1

由于这是一个R问题，如何通过调用expm1（x）来计算exp（x）-1？ expm1（）是一个R函数，用于返回exp（x）-1的精确值，即使x值接近0也是如此.exp1（x）/ x给出正确的答案。

Answer 2

问题是第一个函数表现出所谓的灾难性取消：对于 x 接近0， e ^x < / em>非常接近 1 + x 。由于浮点数在1附近密度小于0，表达式 e ^x - 1 的结果将非常接近 x ，但由于中间舍入而失去准确性。

第二个利用一个巧妙的技巧＆＃34;取消＆＃34;舍入误差。事实上，这个特殊的例子在Nicholas J. Higham的优秀着作数学算法的准确性和稳定性的section 1.14.1中有详细介绍。他解释的关键是

  

在浮点运算中，对于给定的x≈0，表达式（e ^x - 1）/ x 无法准确评估，而对于给定的y≈1，可以准确地评估表达式（y - 1） / log y 。由于这些函数在 x = 0 （ y = 1 ）附近缓慢变化，因此评估（y - 1） / log y < / em>准确的，如果不精确的近似 y = e ^x ≈1会产生准确的结果。