在两个物体碰撞的三角洲时间？

Question

如果之前发布过，我很抱歉。我无法通过Stackoverflow找到有关该主题的任何内容，也无法通过我的其他任何谷歌搜索找到。

我有两个物体，都包含位置（x和y），以及线速度（x和y）。这些物体正在通过2d平面移动。我需要检测这些物体何时碰撞，如果它们会发生碰撞。对我来说，最大的问题是物体的半径，因为这会在它们碰到时产生影响。

我已经在一个月的时间内尝试了解决这个问题的各种方法，但我还没有破解它。我设法做的是计算对象的两个直线公式，最后得到两者的b和c（y = mx + c）。我试图将这两个公式相互比较，其中x = x和y = y，但最终得到一个非常复杂的公式，并且不知道如何将其转换为c＃。

此功能也需要在<50ms内触发，使问题复杂化。任何建议都会有很长的路要走。

Answer 1

您可以将问题表示为两个vector方程式的系统

p1 = u1 + v1 t
p2 = u2 + v2 t

其中p1是给定初始位置u1，速度v1和scalar时间t的第一个对象的位置。我们想要解决物体刚接触的时刻，由

描述

r1 + r2 = |p1 - p2|

其中r1和r2是对象的半径。让我们定义一些变量，这样我们的推导就更清晰了：

x  = u1.x - u2.x
y  = u1.y - u2.y
x' = v1.x - v2.x
y' = v1.y - v2.y

然后我们可以按如下方式解决：

    r1 + r2    = |p1 - p2|
               = sqrt((p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2)                 definition of vector magnitude

=> (r1 + r2)^2 = (p1.x - p2.x)^2 + (p1.y - p2.y)^2                       square both sides
               = (x + x' t)^2 + (y + y' t)^2                             substitute variable definitions
               = x^2 + 2 x x' t + x'^2 t^2 + y^2 + 2 y y' t + y'^2 t^2   expand squares of sums
               = (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2       rearrange terms

=> (x'^2 + y'^2) t^2 + 2 (x x' + y y') t + x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2 = 0   rearrange terms

这是一个二次方程，因此我们可以使用quadratic formula找到t

a = x'^2 + y'^2
b = 2 (x x' + y y')
c = x^2 + y^2 - (r1 + r2)^2

如果对象没有碰撞，discriminant b^2 - 4 a c将为负数。如果对象在过去发生碰撞，则t的值可能为负值。

说到这一点，我们如何解释我们获得两个根或两个t值的事实？请考虑以下图像：

正如您所看到的，我们获得了第一次接触，＆＃34;条目＆＃34;的解决方案，以及当对象相交和分开时，＆＃34;退出＆＃34;。根据您的需要，这可能很有用，但如果您只需要联系时间，请选择较小的t。