Question

我手边有一个问题，可以简化为：

假设在二维平面X-Y中有一堆随机点，对于每个Y，X上可能有多个点，对于每个X，Y上可能有多个点。

每当选择一个点（Xi，Yi）时，不能选择X = Xi OR Y = Yi的其他点。我们必须选择最大点数。

Answer 1

这可以简化为简单的最大流量问题。如果你有一个点（xi，yi），在图中它应该用从源S到点xi的路径表示，从xi到yi，从yi到最后一个节点（sink）T。

注意，如果我们有点（2,2）和（2,5），那么从S到x2的路径仍然只有一条。所有路径（边）都具有容量1.

此网络中的流程就是答案。

关于一般问题
http://en.wikipedia.org/wiki/Max_flow

<强>更新
我现在没有图形编辑器可视化问题，但您可以轻松地手动绘制示例。比方说，积分是（3,3）（3,5）（2,5）

然后边（路径）将是
S - ＆gt; x2，S - ＆gt; X3
y3 - ＆gt; T，y5 - ＆gt; Ť
x3 - ＆gt; y3，x3 - ＆gt; y5，x2 - ＆gt; Y5

流程：S - ＆gt; x2 - ＆gt; y5 - ＆gt; T和S - ＆gt; x3 - ＆gt; y3 - ＆gt; Ť
从源到汇的“水”量是2，答案也是如此。

还有一个关于最大流量算法的教程 http://www.topcoder.com/tc?module=Static&d1=tutorials&d2=maxFlow

Answer 2

这不仅仅是Hungarian algorithm吗？

创建 n×n 矩阵，在标记的顶点处为0，在未标记的顶点处为1。算法将选择 n 顶点，每个行和每一个顶点，最小化它们的总和。只需计算所有等于0的所选顶点，就可以得到答案。

from munkres import Munkres

matrix = [[0, 0, 1],
          [0, 1, 1],
          [1, 0, 0]]

m = Munkres()
total = 0
for row, column in m.compute(matrix):
    if matrix[row][column] == 0:
        print '(%i, %i)' % (row, column)
        total += 1

print 'Total: %i' % total

这在O（n ³）时间运行，其中 n 是矩阵中的行数。最大流量解在O（V ³）中运行，其中 V 是顶点数。只要有超过 n 选择的交叉点，这就会更快;实际上，随着所选顶点的数量增加，它的运行速度会快一些。

Answer 3

不同的解决方案。事实证明，存在很多对称性，答案比我原先想象的要简单得多。您可以做的最大事情是唯一X和唯一Y的最小值，如果您只想要结果，则为O（NlogN）。

每个其他形状相当于一个包含点的矩形，因为从矩形中心拉出的点数无关紧要，顺序永远不会重要（如果处理如下）。 你从现在开始点的任何形状都有一个不那么独特的X和一个不那么独特的Y，就像一个矩形。

因此，最佳解决方案与连通性无关。选择位于最小维度边缘的任何点（即，如果len（unique-Xs）＆gt; len（unique-Ys），则选择具有最大或最小X的任何内容）。它有多少连接并不重要，只有哪个维度最大，这可以在查看上面创建的排序唯一列表时轻松完成。如果保留unique-x和unique-y计数器并在删除列表中该元素中的所有唯一节点时递减它们，则每次删除都为O（1）并重新计算长度为O（1）。所以重复N次是最坏的O（N），最后的复杂性是O（NlogN）（仅归因于排序）。

您可以在最短的边缘选择任意点，因为：

如果只有一个在这个边缘，你最好现在选择它或其他东西将消除它
如果在这个边缘有多个，谁在乎，你将用你的选择消除所有这些

基本上，你在每个点上最大化“max（uniqX，uniqY）”。

更新：IVlad抓住了一个边缘案例：

如果尺寸相等，则采用最少点的边缘。即使它们不相等，也要从你所消除的唯一堆栈的顶部或底部取得最少的点。

案例：

转1：

积分：(1, 2); (3, 5); (10, 5); (10, 2); (10, 3)
有3个独特的X：1, 3, 10
有3个独特的Y：2, 3, 5
“边界框”为(1,5),(10,5),(10,2),(1,2)

反应1：

点数最少的“外边缘”（最外面的uniqueX或唯一Y点列表）是左边。基本上，看看x = 1，x = 10和y = 2，y = 5的点集。 x = 1的集合是最小的：一个点。选择x = 1的唯一点 - ＆gt; (1,2)。
这也消除了(10,2)。

转2：

积分：(3, 5); (10, 5); (10, 3)
有两个独特的X：3, 10
有两个独特的Y：3, 5
“边界框”为(3,5),(10,5),(10,3),(3,3)

反应2：

具有最小值的边界框的“边缘”是底部或左边。我们达到了琐碎的情况 - 4个点意味着所有边缘都是外边缘。消除一个。说(10,3)。
这也消除了(10,5)。

转3：

积分：(3, 5)

反应3：

删除(3,5)。

Answer 4

对于每个点，确定通过选择该点而被取消资格的其他点（N）的数量（即具有相同X或Y值的那些点）。然后，按照N个不合格点数量的增加顺序迭代非取消资格的点。完成后，您将删除最大分数。

Answer 5

这看起来像dynamic programming可以解决的问题。查看最长公共子字符串的算法，或knapsack problem。

Answer 6

XY平面是红鲱鱼。将其短语作为一组元素，每个元素都有一组互斥的元素。

然后算法成为深度优先搜索。在每个级别，对于每个候选节点，计算排除元素的集合，当前排除元素与候选节点排除的元素的并集。按最少排除元素的顺序尝试候选节点。跟踪目前为止的最佳解决方案（排除最少的节点）。修剪任何比当前最差的子树。

作为可能遗漏解决方案成本的略微改进，您可以使用Bloom过滤器来跟踪排除的集合。

优化问题 - 找到最大值

7 个答案: