Question

在Isabelle，我正在尝试对相互递归的归纳定义进行规则归纳。这是我能够创建的最简单的例子：

theory complex_exprs
imports Main
begin

datatype A = NumA int
           | AB B
and B = NumB int
      | BA A

inductive eval_a :: "A ⇒ int ⇒ bool" and eval_b :: "B ⇒ int ⇒ bool" where
eval_num_a: "eval_a (NumA i) i" |
eval_a_b:   "eval_b b i ⟹ eval_a (AB b) i" |
eval_num_b: "eval_b (NumB i) i" |
eval_b_a:   "eval_a a i ⟹ eval_b (BA a) i"

lemma foo:
  assumes "eval_a a result"
  shows   "True"
using assms
proof (induction a)
  case (NumA x)
    show ?case by auto
  case (AB x)

此时，Isabelle以“非法原理图变量”停止，以防“AB”。实际上，目前的目标是⋀x. ?P2.2 x ⟹ eval_a (AB x) result ⟹ True，其中包含假设?P2.2 x。这是Isabelle所说的'原理图变量'吗？它来自哪里，我怎么能摆脱它？

如果我尝试对规则进行归纳，我会遇到同样的问题：

proof (induction)
  case (eval_num_a i)
    show ?case by auto
  case (eval_a_b b i)

同样，目标是⋀b i. eval_b b i ⟹ ?P2.0 b i ⟹ True，其中包含未知?P2.0 b i，我无法继续。

作为相关问题：我尝试使用

进行归纳

proof (induction rule: eval_a_eval_b.induct)

但是Isabelle不接受这一点，说“未能应用初始证明方法”。

如何让这种感应通过？（在我的实际应用中，我确实需要归纳，因为目标比True更复杂。）

Answer 1

关于相互递归定义的证明，无论是数据类型，函数还是归纳谓词，都必须相互递归。但是，在您的引理中，您只说出eval_a的归纳属性，而不是eval_b的归纳属性。在AB的情况下，你显然想要使用eval_b的归纳假设，但由于引理没有说明eval_b的归纳属性，因此Isabelle不知道它是什么。因此它将其作为原理图变量?P2.0。

所以，你必须陈述两个目标，比如说

lemma
  shows "eval_a a result ==> True"
  and "eval_b b result ==> True"

然后，方法induction a b将确定第一个语句对应A，第二个语句对应B。

归纳谓词的归纳规则失败，因为此规则消除了归纳谓词（仅对数据类型的归纳＆＃34;消除＆＃34;类型信息，但这不是HOL公式）并且它无法找到第二个归纳谓词。

有关相互递归对象的归纳的更多示例可以在src/HOL/Induct/Common_Patterns.thy中找到。

如何在相互递归的规则归纳中修复“非法逻辑示意图变量”？

1 个答案: