Question

我想知道在Coq定理证明期间是否有办法引入一个全新的变量？

有关完整示例，请考虑以下属性from here关于列表长度的均匀性。

Inductive ev_list {X:Type}: list X -> Prop :=
  | el_nil : ev_list []
  | el_cc  : forall x y l, ev_list l -> ev_list (x :: y :: l).

现在我想证明，对于任何列表l，如果length为偶数，则ev_list l成立：

Lemma ev_length__ev_list': forall X (l : list X), ev (length l) -> ev_list l.
Proof.
  intros X l H.

给出：

1 subgoals
X : Type
l : list X
H : ev (length l)
______________________________________(1/1)
ev_list l

现在，我想“定义”一个新的自由变量n和一个假设n = length l。在手写的数学中，我认为我们可以做到这一点，然后对n进行归纳。但有没有办法在Coq中做同样的事情？

请注意。我问的原因是：

我不想将这个n人为地引入到定理本身的陈述中，就像之前链接的页面中所做的那样，恕我直言是不自然的。
我尝试induction H.，但似乎无效。 Coq无法对length l的{{1}}进行案例分析，也没有生成归纳假设（IH）。

感谢。

Answer 1

这是Coq证明中的常见问题。您可以使用remember策略：

remember (length l) as n.

如果您也在H上进行归纳，那么您可能还需要事先通过l进行归纳，

generalize dependent l.
induction H.

Answer 2

根据Curry-Howard Isomorphism，你的语境中的假设只是变量。您可以使用函数定义新变量。以下refine策略使用新变量n（设置为length l）和e证明n = length l来扩展目标（设置为eq_refl）。

Lemma ev_length__ev_list': forall X (l : list X), ev (length l) -> ev_list l.
Proof.
  intros X l H.
  refine ((fun n (e:n = length l) => _) (length l) eq_refl).
  (* proof *)
Admitted.

Answer 3

如果您只想为感应添加新变量，可以直接使用

induction (length l) eqn:H0

如何在Coq中引入新变量？

3 个答案: