乘法的算法复杂度

Question

在被指责为重复之前，我已经在StackOverflow上找到了这个答案的所有内容，并且找不到可以向我解释的内容，所以请先阅读完整内容。

假设您需要编写一个取整数n的函数，并返回1..n的正整数之和（我将使用C）。

int sum_of_integers(int n) {
    int i, counter = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        counter += i;
    return counter;
}

显然，该算法处于O（n）时间，因为它运行的指令数与输入大小n成正比。

然而，考虑这个实现，使用1 + ... + n =（n）（n + 1）/ 2的数学真理。

int sum_of_integers(int n) {
    //Trying to avoid potential int overflow
    //And take into account int division
    if(n % 2 == 0)
        return (n/2)*(n+1);
    return ((n+1)/2)*n;
}

我的问题：因为乘法在技术上是大-O＆gt; O（n），是第一个首选的实现？第二种实现是否被认为是O（1）？

对我来说，因为对于第二次实现来说n的大小并不重要，因为相同的操作执行的次数相同，我觉得它应该在O（1）中。另一方面，第二种实现可能实际上是基于乘法运算符的实现运行更多指令。

Answer 1

教科书乘法需要时间O（b ^ 2）其中b是数字中的位数，因此使用公式n（n + 1）/ 2需要时间O（（log n）^ 2）这是多比O（n）快。