Question

我想要做的是将一组（ n ）项目拆分为相同大小的组（大小 m 的组，为简单起见，假设没有剩余，即 n 可被 m 整除。多次执行，我希望确保没有一对项目在同一组中一起两次。

为了使这一点更加具体，为了构建六个项目A..F中的两个组，可以用不同的方式对该组进行五次分区：

(A, B)，(C, D)，(E, F)
(A, C)，(B, E)，(D, F)
(A, D)，(B, F)，(C, E)
(A, E)，(B, D)，(C, F)
(A, F)，(B, C)，(D, E)

同一组项目只能划分为三个一组，而不会重叠：

(A, B, C)，(D, E, F)

_{（正如@DavidHammen在下面指出的那样，在这个例子中有不同的方法来制作分区。但是，一旦进行了一次分区，就不会有另一个第二次分割，它将所有项目对分开。这就是很好 - 我的应用程序不需要生成所有可能的方法来全局分区集，一个满足约束的解决方案就可以了）}

我现在的问题是：有没有办法有效地做到这一点？是否有技巧加速这些集的生成？

所以，到目前为止，我一直将此视为exact cover问题，并使用backtracking algorithm（DLX的变体）解决此问题。这对于对很有效，但随着组变大，算法必须考虑爆炸的可能性数量，并且处理变得非常难以处理。

我正在寻找的是加快提升的技巧。任何想法都非常受欢迎，特别是（但不限于）：

优化和启发式，以减少在解决之前需要考虑的可能性的数量（例如，从上面的示例中可以清楚地看出，第一次拆分可以简单地任意进行，并且可以自动生成每个分区的第一组[上面的第一列]。
是否有可以应对大量候选人的回溯变体？（即不需要事先生成所有可能性）
其他算法，接近或我应该考虑的数学概念？

非常欢迎任何想法和建议。 非常感谢你考虑这个！

更新

好的，所以这已经有一段时间了，但我花了很多时间在这上面，并想回到你身边。 @ david-eisenstat通过给我正确的搜索词让我走上正确的道路（非常感谢你！） - 我已经阅读了很多关于社交高尔夫球手问题的文章。

我想在这里分享的最好的资源之一是Markus Triska的工作，他在论文中讨论了几种方法（然后继续提出一个非常好的算法）。如果有人遇到类似的问题，强烈建议这样做！

Answer 1

此问题的研究名称为Social Golfer Problem。文献具有重要的规模，但有三种主要方法：

本地搜索方法，可以处理不存在多对的情况。
完整的搜索方法，例如缩小到完全封面。根据我的记忆，这里的研究围绕着对称破坏的有效方法，你修复第一行的想法可能是最简单的。
数学结构。当q是一个主要的力量时，q个q组的构造涉及finite affine planes并不太难以实现。除此之外，还有很多一次性的结构。 “组合设计手册”可能是您总结已知内容的最佳选择。

Answer 2

允许n=m*k，分区包含m个k项组。

x分区后，每个项目都在一个包含x*(k-1)个其他项目的组中。创建t-1分区后，在下一个分区A中可以选择：

second element : n -   (t-1)*(k-1)   - 1  items
third element  : n - 2*(t-1)*(k-1)   - 2  items
fourth element : n - 3*(t-1)*(k-1)   - 3  items
...
k'th element   : n -   (t-1)*(k-1)^2 - (k-1)  items

要创建t'th分区，我们需要：

n - (t-1)*(k-1)^2 - (k-1) > 0
=>
t < (n - k + 1) / ((k-1)^2) + 1

可能的分区数量随组长度的平方而减少。这意味着，没有太多可能的分区： - ）

我会采取一些贪婪的方法。存储每个可用项目的项目集，并通过将第一个可用项目添加到组来创建新分区。

如何（有效地）生成不相交的集合，同时只使用一对元素？

2 个答案: