重叠AABB-Arc和AABB-Pie

Question

我正在寻找一种简单的算法来检测aabb的区域是否与弧形区域（由绳索封闭）或馅饼（通过圆形中心关闭）重叠。

我已经找到了这个答案：Intersection of rectangle and circle (or arc)

但这并不是我想要的，因为我对形状的交叉点不感兴趣。大纲，但只是想知道这些区域是否重叠。

例如，非常小的AABB仅包含饼图的中心但AABB的边缘与饼图的圆相交的情况不会在链接的答案中涵盖。 同样，电弧完全包含AABB并且AABB的侧面甚至不会与电线相交也不会被覆盖。

在我开始重新发明轮子之前，我想问一下这种重叠检查是否有已知的算法。

AABB-Sector的一个例子：

Answer 1

考虑到各种配置，这不是一个容易解决的问题。

通过将扇形十字穿过中心，您可以简化问题，使水平或垂直线不会与圆弧相遇两次，并分别处理碎片。

然后考虑其中一个碎片并在“缩小”矩形时“膨胀”它。更准确地说，扇区的每个点都变成了源自它的矩形（左上角），而矩形则缩小到它的右下角。

您获得的形状（绿色区域）是所谓的Minkowski总和（又称扩张）。

如您所见，它有5条直边和一条弯曲边。您可以轻松预测所有扇形方向的形状。

现在有一个交叉点，如果缩小到一个点的矩形位于这个曲线六边形内。您使用极坐标（r < R和Θ' < Θ < Θ"）检查该点是否属于扇区，并通过标准的多边形点测试检查（直）六边形的内部性。

类似的推理适用于圆形段（和弦）。

这种几何变换允许使用“轨迹”方法，即将解集可视化为几何形状，以支持推理。鉴于域的性质（凸六边形），我们可以得出结论，在最坏的情况下，4个比较（涉及线性或二次项）足以通过二分法得到答案！

Answer 2

行业和细分案例不同。

对于细分：

• Broadphase：如果圆段的AABB没有相交，那么没有。
• 如果和弦与AABB相交（或在其中），答案是肯定的。这是线段到矩形的测试，我假设你知道该怎么做。
• 这仅留下AABB在圆弧段内或与圆弧相交的情况。为此，至少部分四边中的一部分必须在该部分内（或者包含整个部分包括和弦，我们会在前一步中找到）。
• 因此将矩形视为四行，并为每一行
  • 通过与圆的交点
  计算圆内的线段
  • 如果存在则通过与和弦比较检查线的任一端是否在圆弧段的内侧。

对于某个扇区，您可以将其视为段加上三角形，或者：

• 如果圆圈的AABB没有相交，则为。
• 如果任一径向线相交，则为是。
• 否则将矩形视为四个线段，并为每个线段：
  • 通过与圆的交点计算圆内的线段。
  • 如果存在，则计算第一条径向线正确一侧的子段。
  • 如果存在，则计算在第二条径向线的正确一侧的子段。